椭圆的简单的几何性质（2）（时间：25分，满分55分）班级姓名得分一、选择题1．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是()A．±B．±C．±D．±答案：A2．如图所示，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：由条件知：F1(－2，0)，B(0，1)，所以b＝1，c＝2，所以a＝＝，所以e＝＝＝.答案：D3．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析：选B直线y＝kx－k＋1可变形为y－1＝k(x－1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆＋＝1内部，所以直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1相交，故选B．4．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为()A.B.C.D.答案：B5．已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过其中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为()A．6B．15C．20D．12解析：S＝|OF|·|y1－y2|≤|OF|·2b＝12.答案：D6．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是()A．B．1C．D．解析：选A由消去y得，(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为(x0，y0)，则x1＋x2＝，∴x0＝，代入y＝1－x得y0＝．由题意＝，∴＝，选A．二、填空题7．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，|AM�|＝1，且PM�·AM�＝0，则|PM�|的最小值是________．解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．∵PM�·AM�＝0，∴AM�⊥PM�．∴|PM�|2＝|AP�|2－|AM�|2＝|AP�|2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|AP�|min＝2，∴|PM�|min＝．答案：8．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为____________________．9．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP�·FP�的最大值为________．解析：由＋＝1可得F(－1,0)．设P(x，y)，－2≤x≤2，则OP�·FP�＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋31－＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，OP�·FP�取得最大值6．答案：610．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点B，若FA＝3FB，则|AF|＝________．解析：设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，所以c2＝1，即c＝1，所以右焦点F(1，0)．所以由FA＝3FB得(1，n)＝3(x0－1，y0)．所以1＝3(x0－1)且n＝3y0.所以x0＝，y0＝n.将x0，y0代入＋y2＝1，得×＋＝1.2解得n2＝1，所以|AF|＝＝＝.答案：三、解答题11．已知直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M、N两点，且|MN|＝.求直线l的方程．解：设直线l与椭圆的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消y并化简，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝0.由|MN|＝，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，所以(1＋k2)(x1－x2)2＝，所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝.即(1＋k2)＝.化简，得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1，所以k＝±1.所以所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.12．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P(2，3)，且它的离心率e＝.(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x＋1)2＋y2＝1相切的直线l：y＝kx＋t交椭圆于M，N两点，若椭圆上一点C满足OM＋ON＝λOC，求实数λ的取值范围．(3＋4k2)x2＋8ktx＋(4t2－48)＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝－，y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝k(x1＋x2)＋2t＝.因为，λOC＝(x1＋x2，y1＋y2)，所以C.又因为点C在椭圆上，所以，＋＝1⇒λ2＝＝.因为t2＞0，所以＋＋1＞1，所以0＜λ2＜1，所以λ的取值范围为(－1，0)∪(0，1)．3
