高中数学 第四章 导数及其应用 4.3 导数在研究函数中的应用 4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值分层训练 湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学试题VIP免费

4.3.3三次函数的性质：单调区间和极值一、基础达标1．函数y＝f(x)在[a，b]上()A．极大值一定比极小值大B．极大值一定是最大值C．最大值一定是极大值D．最大值一定大于极小值答案D解析由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值．2．函数y＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是()A．0B.C.D.答案B解析y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，∴x＝1，∴f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，∴f(1)为最大值，故选B.3．函数y＝的最大值为()A．e－1B．eC．e2D.答案A解析令y′＝＝＝0.(x＞0)解得x＝e.当x>e时，y′<0；当0＜x0)．y′＝2t－＝＝.当0＜t＜时，y′＜0，可知y在上单调递减；当t＞时，y′＞0，可知y在上单调递增．故当t＝时，|MN|有最小值．9．(2014·湖北重点中学检测)已知函数f(x)＝x3－tx2＋3x，若对于任意的a∈[1,2]，b∈(2,3]，函数f(x)在区间[a，b]上单调递减，则实数t的取值范围是()A．(－∞，3]B．(－∞，5]C．[3，＋∞)D．[5，＋∞)答案D解析 f(x)＝x3－tx2＋3x，∴f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于函数f(x)在(a，b)上单调递减，则有f′(x)≤0在[a，b]上恒成立，即不等式3x2－2tx＋3≤0在[a，b]上恒成立，即有t≥在[a，b]上恒成立，而函数y＝在[1,3]上单调递增，由于a∈[1,2]，b∈(2,3]，当b＝3时，函数y＝取得最大值，即ymax＝＝5，所以t≥5，故选D.10．如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是________．答案－解析f′(x)＝3x2－3x，令f′(x)＝0得x＝0，或x＝1.2 f(0)＝a，f(－1)＝－＋a，f(1)＝－＋a，∴f(x)max＝a＝2.∴f(x)min＝－＋a＝－.11．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)＜2|c|恒成立，求c的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2－2ax＋b， 函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．∴，∴.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值c＋5极小值c－27而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，∴当x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54，要使f(x)＜2|c|恒成立，只要c＋54＜2|c|即可，当c≥0时，c＋54＜2c，∴c＞54；当c＜0时，c＋54＜－2c，∴c＜－18.∴c∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c的取值范围．1...