3.1.1数系的扩充和复数的概念[A基础达标]1.以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是（）A.1－iB.1＋iC.－3＋3iD.3＋3i解析：选A.－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i，其实部为－1，故所求复数为1－i.2.在复平面内，复数z＝（a2－2a）＋（a2－a－2）i是纯虚数，则（）A.a＝0或a＝2B.a＝0C.a≠1且a≠2D.a≠1或a≠2解析：选B.因为复数z＝（a2－2a）＋（a2－a－2）i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.3.若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝（）A.－2＋iB.2＋iC.1－2iD.1＋2i解析：选B.由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.4.复数z＝a2－b2＋（a＋|a|）i（a，b∈R）为实数的充要条件是（）A.|a|＝|b|B.a<0且a＝－bC.a>0且a≠bD.a≤0解析：选D.复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故应选D.5.下列命题：①若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；②若z＋z＝0，则z1＝z2＝0；③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系.其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3解析：选A.在①中未对z＝a＋bi中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z＋z＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的.故选A.6.如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x、y为实数，则x＝，y＝Ｗ.解析：由复数相等可知所以答案：17.已知复数z＝m2（1＋i）－m（m＋i）（m∈R），若z是实数，则m的值为Ｗ.解析：z＝m2＋m2i－m2－mi＝（m2－m）i，所以m2－m＝0，所以m＝0或1.答案：0或18.若复数z＝（sinθ＋cosθ＋1）＋（sinθ－cosθ）i是纯虚数，则sin2017θ＋cos2017θ＝.解析：由题意得1由①得sinθ＋cosθ＝－1，又sin2θ＋cos2θ＝1.所以或所以sin2017θ＋cos2017θ＝（－1）2017＋02017＝－1.答案：－19.已知复数z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－15）i.（1）若复数z是实数，求实数m的值；（2）若复数z是虚数，求实数m的取值范围；（3）若复数z是纯虚数，求实数m的值；（4）若复数z是0，求实数m的值.解：（1）当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，所以m＝5或－3.（2）当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数.所以m≠5且m≠－3.所以实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠－3}.（3）当时，复数z是纯虚数，所以m＝－2.（4）当时，复数z是0，所以m＝－3.10.已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值.解：设（x0，y0）是方程组的实数解，由已知及复数相等的意义，得由①②得代入③④得.所以实数a，b的值分别为1，2.[B能力提升]11.“复数4－a2＋（1－a＋a2）i（a∈R）是纯虚数”是“a＝－2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B.因为1－a＋a2＝＋＞0，所以若复数4－a2＋（1－a＋a2）i（a∈R）是纯虚数，则4－a2＝0，即a＝±2；当a＝－2时，4－a2＋（1－a＋a2）i＝7i为纯虚数，故选B.12.使不等式m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10成立的实数m的取值集合是.解析：由已知，得解得m＝3，所以所求的实数m的取值集合是{3}.答案：{3}13.已知关于x的方程x2＋（2－3i）x＋5mi＋i＝0有实数根，求纯虚数m.解：由于m是纯虚数.设m＝bi（b∈R，且b≠0）.设方程的实数根为a，则代入原方程整理得（a2＋2a－5b）＋（1－3a）i＝0.因为a，b∈R，所以由复数相等的充要条件，得，解得b＝，所以纯虚数m＝i.14.（选做题）已知复数z1＝－a2＋2a＋ai，z2＝2xy＋（x－y）i，其中a，x，y∈R，且z1＝z2，求3x＋y的取值范围.2解：由复数相等的充要条件，得，消去a，得x2＋y2－2x＋2y＝0，即（x－1）2＋（y＋1）2＝2.法一：令t＝3x＋y，则y＝－3x＋t.分析知圆心（1，－1）到直线3x＋y－t＝0的距离d＝≤，解得2－2≤t≤2＋2，即3x＋y的取值范围是[2－2，2＋2].法二：令，得（α∈R），所以3x＋y＝sinα＋3cosα＋2＝2sin（α＋φ）＋2（其中tanφ＝3），于是3x＋y的取值范围是[2－2，2＋2].3
