高考数学大二轮复习 专题三 三角函数 3.2 三角变换与解三角形练习-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

3.2三角变换与解三角形【课时作业】A级1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．4B．C.D．2解析： cos＝，∴cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×＝32，∴AB＝＝4.故选A.答案：A2．(2018·山东菏泽2月联考)已知α∈，sin＝，则tan(π＋2α)＝()A.B．±C．±D．解析： α∈，sin＝，∴cosα＝，sinα＝－，由同角三角函数的商数关系知tanα＝＝－2.∴tan(π＋2α)＝tan2α＝＝＝，故选A.答案：A3．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于()A.B．C.D．解析：由正弦定理得sinB＝2sinAcosB，故tanB＝2sinA＝2sin＝，又B∈(0，π)，所以B＝，又A＝＝B，则△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsinA＝×1×1×＝.答案：B4．若α∈，且3cos2α＝4sin，则sin2α的值为()A.B．－C．－D．解析：3(cos2α－sin2α)＝2(cosα－sinα)，因为α∈，所以cosα－sinα≠0，所以3(cosα＋sinα)＝2，即cosα＋sinα＝，两边平方可得1＋sin2α＝⇒sin2α＝－.答案：C5．(2018·南昌市第一次模拟测试卷)已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)的150千米处，以v千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)的200千米处，若cosα＝cosβ，则v＝()A．60B．80C．100D．125解析：如图，台风中心为B,2.5小时后到达点C，则在△ABC中，ABsinα＝ACsinβ，即sinα＝sinβ，又cosα＝cosβ.∴sin2α＋cos2α＝sin2β＋cos2β＝1＝sin2β＋cos2β，∴sinβ＝cosβ，∴sinβ＝，cosβ＝，∴sinα＝，cosα＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝0，∴α＋β＝，∴BC2＝AB2＋AC2，∴(2.5v)2＝1502＋2002，解得v＝100，故选C.答案：C6．化简：＝________.解析：＝＝＝4sinα.答案：4sinα7．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.解析：＝＝·＝·＝1.答案：18．(2018·开封市高三定位考试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btanB＋btanA＝2ctanB，且a＝5，△ABC的面积为2，则b＋c的值为________．解析：由正弦定理及btanB＋btanA＝2ctanB，得sinB·＋sinB·＝2sinC·，即cosAsinB＋sinAcosB＝2sinCcosA，亦即sin(A＋B)＝2sinCcosA，故sinC＝2sinCcosA．因为sinC≠0，所以cosA＝，所以A＝.由面积公式，知S△ABC＝bcsinA＝2，所以bc＝8.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc，代入可得b＋c＝7.答案：79．(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．解析：(1)由角α的终边过点P，得sinα＝－.所以sin(α＋π)＝－sinα＝.(2)由角α的终边过点P，得cosα＝－，由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.由β＝(α＋β)－α，得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－或cosβ＝.10．(2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－.(1)求∠A；(2)求AC边上的高．解析：(1)在△ABC中，因为cosB＝－，所以sinB＝＝.由正弦定理得sinA＝＝.由题设知<∠B<π，所以0<∠A<.所以∠A＝.(2)在△ABC中，因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝，所以AC边上的高为asinC＝7×＝.B级1．(2018·河南濮阳一模)已知△ABC中，sinA，sinB，sinC成等比数列，则的取值范围是()A.B．C．(－1，)D．解析：由sinA，sinB，sinC成等比数列，知a，b，c，成等比数列，即b2＝ac，∴cosB＝＝＝－≥2－＝，当且仅当a＝c时等号成立，可知B∈，设y＝＝，设sinB＋cosB＝t，则2sinBcosB＝t2－1.由于t＝sinB＋cosB＝sin，B∈，所以t∈(1，]，故y＝＝＝＝t－，t∈(1，]，因为y＝t－在t∈(1，]上是增函数，所以y∈.故选B.答案：B2．(2018·石家庄质量检测(一))如图，平面四边形ABCD的对角线的交点位于四边形的内部，AB＝1，BC＝，AC＝CD，AC⊥CD，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为________．解析：设∠ABC＝θ，θ∈(0，π)，则由余弦定理得AC2＝3－2cosθ，由正弦定理得＝，得sin∠ACB＝.在△DCB中，由余弦定理可得...