从一道习题的教学谈数学课堂的有效教学在新课程理念下，提高课堂效率是师生所共同追求的。怎样的数学课堂才是高效的呢？近期笔者曾听过一堂高三数学复习课，回想起来耐人寻味。本文结合课堂实录和本人的教学实践，谈谈笔者的感想，以此期望与读者一起就“课堂效率的最大化”产生积极的思考和探索。1课堂实录我们一起进入课堂，教师简明的开场白后，给出题目：已知函数满足，且方程有且仅有一个实数根。（1）求函数的解析式；（2）设数列满足.求数列的通项公式；（3）定义min。对于（2）中的数列，令.设为数列的前n项和，求证：.（模拟考压轴题）老师给学生十分钟的独立思考、完成的时间，此后学生再交流讨论各自的想法和思路。师:请大家谈谈自己的思路与做法。生1：这是一道连环题，要顺次解决问题1、2、3.根据题意，第一问实质就是解方程（组）。投影展示如下：由，得；又有且仅有一个解,即有唯一解满足.当时，，则，此时师：同学们认为生1的解答怎样？学生：我们也这样想。根据题意用方程的思想方法来解决，很容易得出结果。生2：（突然）我认为生1的做法不够严谨！教师顺势做了一个暂停的动作，大家思考一下哪里缺乏严谨性？（抓住关键，让学生“共享”问题。）片刻之后，大家有点迷茫，并对生2投以期待的眼神。生2：当时，，因为，所以，则，此时综上所述，或者。其他同学都点头默认，表示赞同。（课堂的有效性在学生的自我发现、自我完善中得以逐步实现。）师：若把本题中条件去掉，会产生怎样的后果呢？（让学生思考片刻）-1-生3：由于时前面已经解决；事实上，当a=0时，可得b=2,此时；综上所述，或者或者。学生们豁然开朗，欣喜有余。师:很好！根据以上问题（条件）的探究、逐步完善的过程，你有哪些收获？（反思片刻）生4：它用到了分类讨论、方程的思想方法，同时要求我们细致、耐心地解决问题。师：所谓细节决定成败，同学们要培养良好的习惯。有时，只有正确的思路未必能得到正确的结论，严谨的思维才能保证结论的正确。接下来我们一起解决第2小问。生5：，当时，，不合题意，则，由依次取n=1,2,3求出于是猜想：。然后用数学归纳法加以证明（此略）。生6：我也是这样思考的，记得在选修2-2第二章《推理与证明》中有相关问题。师：不错！这种解法体现了类比推理的思想方法，这类同学能学以致用，返璞归真、回归课本，尤为可贵！（教师借机指出二轮复习回归课本的意义与重要性）生7：我的想法与生8不同，投影展示如下：（等差数列）则，故此时一阵附和声（看来用这种方法的人还真不少）。师：这种方法对基本功要求较高、技巧性较强，它充分利用运算“美化”了形式，通过构造新数列转化为等差数列来求解。看来大家掌握的不错，那么等差数列的通项公式产生方法还有哪些？学生：（大声说）累加法和迭代法，接着学生运算，自主体验成功的感觉。（解答过程略）师：通过上例告诉我们，借用化归的思想，利用知识和方法的回归，不仅成功地解决了问题，同时回顾了双基，而且还实现了能力的提升。请大家结合该问题能不能自己编一个（分式形式）的递推数列，并求该数列通项的题目？生8：已知数列求其通项。（并简洁地求出结果）（还有几个学生的自编题，此略）-2-师：太好了！希望每位同学都能举一反三、尝试编题，这样对于活跃大家的思维非常有好处。下面我们来解决第3问。生9：由第2问知，则，所以，下用数学归纳法证明，此时相当一部分同学都赞同这一做法，于是进入运算阶段，……，教师巡视，发现多数同学用数学归纳法证明“命题由n=k推证n=k+1时命题也成立”是难点，被卡住了。突然：生10：我有更好的方法！（顿时课堂内肃静，大家都翘首以待）我先说说思路：是前n项和，但求不出结果，适当地放缩也不能求解。不如把右边看作另一个递减数列的前n项和，做法如下：设数列的前项和为，则；当时，，要证明，令只要证明：其中.构造函数，则，所以在上是增函数，则当时，，即，所以，则.同学们都向生10投以欣赏的眼光，充满了敬意。师：感谢生10带给我们的精彩解答！希望大家有所启发。事实上“”在选修2-2第一章一习题中出现过，不难证明它；另一方面部分同学用数学归纳法证明“命题...
