高中数学函数知识精要[整理]人教版 课件VIP专享VIP免费

2025年2月24日12025年2月24日2一。映射与函数1、映射：对于集合A、B，存在某种对应法则f，使得集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的一个元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记为f：A→B2、函数：(1)在某种变化过程中存在两个变量x，y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数。(2)设A、B都是非空数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)3、函数的“三要素”：对应法则、定义域、值域。只有“三要素”完全相同的两个函数才是同一函数。2025年2月24日3〖方法小结〗1、理解映射的概念①A、B为非空数集；②A中的元素必有象，但B中的元素不一定有原象；③A中的任一元素的象是唯一的，因此对应是“一对一或多对一”。2、理解函数与映射的关系。函数的“三要素”是对应法则、定义域、值域。只有“三要素”完全相同的两个函数才是同一函数。3、若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。2025年2月24日4二。函数的定义域3、如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集。2、求函数的定义域的主要依据是：①分式的分母不为0；②偶次方根的被开方数非负；③对数的真数大于0；④指数、对数函数的底数大于0且不等于1；⑤指数为0或负数时，底数不为0；⑥实际问题的函数除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑有实际意义。1、函数的定义域是指自变量的取值范围。2025年2月24日5三。函数的值域函数的值域就是在对应法则f的作用下，自变量x的值对应的y值的集合。〖方法小结〗1、求函数值域的常用方法有：①配方法：求形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数值域问题,要注意f(x)的取值范围对值域的影响.②分离常数法:求函数求函数f(x)=f(x)=形函数的值域，形函数的值域，如如f(x)=f(x)=转化为转化为f(x)=1f(x)=1－求值域－求值域;;2x2x＋＋112x2x＋＋33axax＋＋bbcxcx＋＋dd55xx＋＋332025年2月24日6③反函数法:求式函数求式函数f(x)=f(x)=形函数的值域，形函数的值域，均可使用反函数法均可使用反函数法..axax＋＋bbcxcx＋＋dd④判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根,判别式Δ≥0,从而求得原函数的值域.形如y=(a1,a2不同时为0)的函数的值域常用此法但要注意函数的定义域不是R时还需要用二次方程根的分布来求解.aa11xx22+b+b11x+cx+c22aa22xx22+b+b22x+cx+c22⑤单调性法:利用函数在其定义域或定义域的子集上的单调性求出函数的值域.⑥换元法:运用代数或三角代换,将所给函数化成值域容易求出的另一类函数2025年2月24日73、求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要告自己积累经验，掌握规律。2、求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。⑦数形结合法:利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法求出函数值域.2025年2月24日8四。函数的单调性1、定义：设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)（f(x1)＞f(x2)），那么就说f(x)在这个区间上是增（减）函数。2、注意定义的变形：设x1、x2[a∈，b]f(x1)－f(x2)x1－x2＞0或(x1－x2)(f(x1)－f(x2))＞0f(x)在这个区间上为增函数f(x1)－f(x2)x1－x2＜0或(x1－x2)(f(x1)－f(x2))＜0f(x)在这个区间上为减函数2025年2月24日93、熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性。①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；②y=f(x)与y=－f(x)有相反的单调性；③当y=f(x)恒为正或恒为负时，y=f(x)与y=1/f(x)有相反的单调性。4、了解以下结论，对直接判定函数的单调性有好处：2025年2月24日10〖方法小结〗1、函数的单调性必须在定义域内进行，在定义域内的不同区间上可能有不同的单调性，因此必须说明在哪个区间上递增或递减。2、根据定义证明函数单调性的方法：①设x1、x2A∈，且设x1＜x2；②作差：f(x1)－f(x2)，并变形（分解、配方、通分等）；③判断差的...