备课资讯3求函数最值问题常用的10种方法函数最值问题遍及中学数学各个内容的方方面面，同时在我们的生活实践中也有着广泛的应用，是中学数学的重要内容之一．由于利用中学数学的思想方法去解决函数最值问题，涉及数学许多知识与方法，要求考生要有扎实的数学基本功及良好的数学思维能力，因此，函数最值问题一直是新课标高考的一个重要的热点问题，在新课标高考中占有极其重要的地位．为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就该问题的常用解法，分类浅析如下，供参考．一、定义法函数最值的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对任意x∈I，都有f(x)≤M，②存在x0∈I，使得f(x0)＝M，则称M为函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N，满足：①对任意x∈I，都有f(x)≥N，②存在x0∈I，使得f(x0)＝N，则称N为函数y＝f(x)的最小值．我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值的相关问题．【例1】设函数f(x)的定义域为R，有下列三个命题：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f(x)2时，ymin＝f(a)＝a2－2.点评利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区分：对称轴与区间的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．三、换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．【例3】设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值是______．分析由条件a2＋2b2＝6的形式知，可利用三角换元法求a＋b的最值．解析 a，b∈R，a2＋2b2＝6，∴令a＝6cosα，2b＝6sinα，α∈R.∴a＋b＝6cosα＋3sinα＝3sin(α＋φ)．∴a＋b的最小值是－3.故填－3.点评在用换元法时，要特别注意其中间变量的取值范围．如本题换元后中间变量α∈R，这由条件a，b∈R可得到．四、不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：a2＋b2≥2ab(a，b为实数)；a＋b2≥ab(a≥0，b≥0)；ab≤a＋b22≤a2＋b22(a，b为实数)．【例4】设x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．分析先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基本不等式求得最值．xzy2解析因为x－2y＋3z＝0，所以y＝x＋3z2，所以y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz.又x，z为正实数，所以由基本不等式，得...
