第10讲对数与对数函数【学习目标】1．理解对数的概念，掌握指数与对数的相互转化，会运用指数、对数运算法则进行有关运算．2．掌握对数函数的定义、图象和性质及其应用．3．掌握以对数函数为载体的复合函数的有关性质．4．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0且a≠1)的关系．【基础检测】1．函数y＝lg（x＋1）x－1的定义域是()A．(－1，＋∞)B．[－1，＋∞)C．(－1，1)∪(1，＋∞)D．[－1，1)∪(1，＋∞)【解析】由题知x＋1>0，x－1≠0得x∈(－1，1)∪(1，＋∞)，故选C.C2．已知a＝log0.70.8，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜a＜b【解析】将三个数都和中间量1相比较：0＜a＝log0.70.8＜1，b＝log1.10.9＜0，c＝1.10.9＞1.C3．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是()A.－∞，32B.32，＋∞C.－1，32D.32，4【解析】y＝lnt是单调递增函数，则只需研究函数t＝4＋3x－x2的单调递减区间，并注意t>0的限制．t＝4＋3x－x2的单调递减区间为32，＋∞，当x≥4时，t≤0，所以区间32，4符合题意．D4．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A．logab·logcb＝logcaB．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logacD．loga(b＋c)＝logab＋logac【解析】利用对数的运算性质可知C，D是错误的．再利用对数运算性质logab·logcb≠logca.又因为logab·logca＝lgblga×lgalgc＝lgblgc＝logcb，故选B.B【知识要点】1．对数的定义如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_______________________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．几种常见的对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1)logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnNx＝logaN(a>0且a≠1)3.对数的性质(a>0，且a≠1，N>0)①alogaN＝________；②logaaN＝________；③换底公式：_____________________________；logab＝1logba，推广logab·logbc·logcd＝logad.4．对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝__________________；②logaMN＝___________________；③logaMn＝_______________；④logamMn＝_____________．logaN＝logbNlogba(b>0，且b≠1)NNlogaM＋logaNlogaM－logaNnlogaMnmlogaM5．对数函数的概念、图象和性质定义形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函数叫对数函数图象(1)定义域：_____________(2)值域：________(3)过点_____________，即x＝1时，y＝0(4)在(0，＋∞)上是_______在(0，＋∞)上是______性质(5)x>1时，________0
1时，________00y<0y<0y>0y＝x(1，0)【解析】(1)原式＝lg427－lg823＋lg75＝lg427×75÷4＝lg10＝12.(2)由已知得：lg(xy)＝lg(2x－3y)2，一、对数运算例1(1)计算：12lg3249－43lg8＋lg245；(2)已知lgx＋lgy＝2lg(2x－3y)，求log32xy的值．即xy＝4x2－12xy＋9y2，即4xy2－13xy＋9＝0，解得：xy＝1或xy＝94， x>0，y>0，2x－3y>0，∴xy＝94，∴log32xy＝2.【点评】对数式的化简与求值常用思路：(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再用对数运算法则进行化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．二、对数函数的图象与性质及应用例2(1)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是()A．blog26，∴a>c>b∴故选D.(2)已知函数f(x)＝|lgx|.若a≠b且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是()A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)【解析】(2)因为函数f(x)＝|lgx|，且由f(a)＝f(b)⇔－lga＝lgb⇔ab＝1，(...
