数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来：研究方程根的情况，讨论函数的值域(最值)及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效．但“以数定形”在今后的高考中将会有所加强，应引起重视，复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定数形间的位置关系．1.数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2.数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题：其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来．关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．3.运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则．要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应．(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二是选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三是要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．4.应用数形结合的思想方法解题，通常可以从以下几个方面入手：①函数与函数图象．②不等式与函数图象．③曲线与方程．④参数本身的几何意义．⑤代数式的结构特点．⑥概念自身的几何意义．⑦可行域与目标函数最值．⑧向量的两重性．热点之一数形结合在函数与不等式中的应用研究函数的性质可以借助于函数的图象，从函数图象上能直观地观察特殊点、单调性、周期性、对称性等性质．不等式问题与函数的图象也有密切的联系，比如应用二次函数的图象解决一元二次不等式，就体现了数形结合的思想方法．因此，解决不等式问题要常联系对应的函数图象，利用函数图象，直观地得到不等式的解集，避免复杂的运算．【例1】y＝f(x)＝3x＋6，x≥－2－6－3x，x<－2，若不等式f(x)≥2x－m恒成立，求实数m的取值范围．【解】图1在平面直角坐标系中作出函数y＝2x－m及y＝f(x)的图象(如图1)，由于不等式f(x)≥2x－m恒成立，所以函数y＝2x－m的图象应总在函数y＝f(x)的图象的下方，因此，当x＝－2时，y＝－4－m≤0，所以m≥－4，所以m的取值范围是[－4，＋∞)．热点之二数形结合在求方程根的个数中的应用1．用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．2．函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．【例2】已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lgx解的个数是()A．5B．7C．9D．10【解析】由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0,1]的函数．图2又f(x)＝lgx，当x∈(0,10]时，f(x)＝lgx≤1，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数，由图象可知共9个交点．【答案】C热点之三利用数形结合解决数列问题数列的通项公式、前n项和公式都可看作关于正整数n的函数．【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，S15＝S37，a1>0，三点P(2n－3，an)，Q(2n，an＋1)，R(2n＋3，an＋2)...
