复习回忆当x→∞、x→+∞、x→-∞时的函数极限是如何定义的.我们可否用类似的思想和方法研究x→x0时的函数极限.1.考察函数y=x2,当x无限趋近于2时,函数的变化趋势(1)图象xyo11.512.2542y=x2考察函数,比较特征(2)列表4yx2.52.12.012.0012.00012.00001……y=x26.254.414.044.0044.00044.00004……2.250.410.040.0040.00040.00004……x1.51.91.991.9991.99991.99999……y=x22.253.613.963.9963.99963.99996……1.750.390.040.0040.00040.00004……4y从表格上看:表1说明,自变量x<2趋近于2(x→2-)时,y→4.表2说明,自变量x>2趋近于2(x→2+)时,y→4.从图象上看:自变量x从左侧趋近于2(即x→2-)和从右侧趋近于2(即x→2+)时,y都趋近于4.从差式|y-4|看:差式的值变得任意小(无限接近于0).从任何一方面看,当x无限趋近于2时,函数y=x2的极限是4.记作:4lim22xx强调:x→2,包括分别从左、右两侧趋近于2.2.考察函数(x≠1),当x无限趋近于1(但不等于1)时,函数的变化趋势112xxy(1)图象y=x+1(xR,x≠1)∈(2)结论:自变量x从x轴上点x=1的左右两边无限趋近于1,函数的值无限趋近于2.112xxy21-101xy强调:虽然在x=1处没有定义,但仍有极限.y110x-13.考察函数,当x无限趋近于0时,函数的变化趋势?)0(1)0(0)0(1xxxxxy(2)结论:x从0的左边无限趋近于0时,y值无限趋近于-1x从0的右边无限趋近于0时,y值无限趋近于1(1)图象此例与上两例不同,x从原点某一侧无限趋近于0,f(x)也会无限趋近于一个确定的常数.但从不同一侧趋近于0,f(x)趋近的值不同,这时f(x)在x0处无极限.(1)请思考下面问题:当x→x0时,y=f(x)在x=x0处有定义,是不是一定有极限?y=f(x)在x=x0处无定义,是不是一定没有极限?x→x0包括两层意思:x从x0的左侧趋近于x0,即x→x0-;x从x0的右侧趋近于x0,即x→x0+.是不是x→x0-和x→x0+时,f(x)会趋近于同一个常数?(2)归纳结果,得到:整理材料,明确概念函数在一点处的极限与左、右极限1.当自变量x无限趋近于常数x0(但x不等于x0)时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时,函数f(x)的极限是a,记作或当x→x0时f(x)→a。axfxx)(lim02.当x从点x0左侧(即xx﹤0)无限趋近于x0时,函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限,记作。axfxx)(lim03.如果当x从点x0右侧(即xx﹥0)无限趋近于x0时,函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的右极限,记作。axfxx)(lim04.常数函数f(x)=c在点x=x0处的极限有.Cxfxx)(lim0注意:(1)中x无限趋近于x0,但不包含x=x0即x≠x0,所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x0附近的函数值的变化有关,而与函数f(x)在点x0的值无关(x0可以不属于f(x)的定义域))(lim0xfxx(2)是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限,而、都是x从x0的单侧无限趋近于x0,是单侧极限,显然)(lim0xfxx)(lim0xfxx)(lim0xfxxaxfxfaxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000例1当x→时,写出下列函数的极限①y=x2②y=sinx③y=x④y=52例析概念,深化理解例2写出下列函数当x→0时的左右极限,哪些有极限?①②③④)0()0(0)0()(2xxxxxxf)0(1)0(sin)(xxxxxf)3(32)(xxxf)0()0(1)(2xxxxxfxxx0lim⑤(1)函数f(x)在x=x0处的极限,左、右极限,极限与左右极限的关系,学会求一些简单函数的左右极限及极限。比较概念,归纳小结(2)我们已学过哪7种不同类型的极限?它们的共同之处是什么?用数学符号来表达各有什么不同?课后探究1.已知,求311lim21xbxaxx11limnnnnnbaab2.已知函数,试求(1)f(x)的定义域;(2)求,,并指出是否存在.nnnnxxxxf22lim)()(lim2xfx)(lim2xfx)(lim2xfx