第7讲空间中角与距离的计算考纲要求考纲研读空间向量的应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量．(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系(3)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.1.线线垂直、两异面直线的夹角、两点间的距离等问题的解决往往借助于向量坐标．正方体、长方体、底面有一角为直角的直棱柱、底面为菱形的直四棱柱、四棱锥等凡能出现三条两两垂直直线的图形，常常考虑空间直角坐标系．2．能较易建立直角坐标系的，尽量建立直角坐标系．其次要注意向量运算与基本性质相结合的论述，这是今后的方向，可以“形到形”，可以“数到形”，注意数形结合.1．异面直线所成的角锐角或直角过空间任一点O分别作异面直线a与b的平行线a′与b′.那么直线a′与b′所成的____________，叫做异面直线a与b所成的角，其范围是_____________．(0°，90°]2．直线与平面所成的角(1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的角等于_____.0°(2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于____.(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是_____________．(0°，90°)90°斜线与平面所成的_______是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最___的角．线面角小3．二面角从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角．从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做___________．直二面角4．点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离．求点到平面的距离通常运用_______，即构造一个三棱锥，将点到平面的距离转化为三棱锥的_____．等积法高5．直线与平面平行，那么直线任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离．A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件1．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有OP�＝xOA�＋yOB�＋zOC�(x，y，z∈R)，则x＋y＋z＝1是P，A，B，C四点共面的()2．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则E到平面ABC1D1的距离为()A.32B.22C.12D.33BC3．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为()A．90°B．60°C．45°D．30°D4．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为___________.45°或135°5．如图13－7－1，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为_______.105图13－7－1考点1线面所成角的计算例1：如图13－7－2，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．图13－7－2图D32解析：设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图D32所示的坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，3a,0)，E(a，3a,2a)． F为CD的中点，∴F32a，32a，0.(1)AF�＝32a，32a，0，BE�＝(a，3a，a)，BC�＝(2a,0，－a)， AF�＝12(BE�+BC�)，AF⊄平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2) AF�＝32a，32a，0，CD�＝(－a，3a,0)，ED�＝(0,0，－2a)，∴AF�·CD�＝0，AF�·ED�＝0.∴AF�⊥CD�，AF�⊥ED�.∴AF⊥平面CDE，又AF∥平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.(3)设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，由n·BE�＝0，n·BC�＝0可得：x＋3y＋z＝0,2x－z＝0，取n＝(1，－3，2)．又BF�＝32a，32a，－a，设BF和平面BCE所成的角为θ，则sinθ＝|BF→·n||BF→|·|n|＝2a2a·22＝24.∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为24.求直线与平面所成的角，大致有两种基本方法：①传统立体几何的综合推理法：通过射影转化法作出直线与平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小．找射影的基本方法是过直线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足得到直线在平面内的射影；有时也可通过找到经...
