学案学案1212导数的应用导数的应用返回目录1.函数的单调性在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0f(x)为;f′(x)≤0f(x)为.减函数增函数返回目录2.函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,①如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极大值.②如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x);②求方程的根;f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>0f′(x)=0返回目录③考察在每个根x0附近,从左到右导函数f′(x)的符号如何变化.如果左正右负,那么f(x)在x0处取得;如果左负右正,那么f(x)在x0处取得.3.函数的最值(1)在闭区间［a,b］上连续的函数f(x)在［a,b］上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在［a,b］上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数f(x)在［a,b］上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值.极小值极大值f(a)f(b)f(a)f(b)(3)设函数f(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内可导,求y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在(a,b)内的;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.返回目录极值返回目录考点一函数的单调性与导数考点一函数的单调性与导数已知f(x)=ex-ax-1.(1)求f(x)的单调增区间;(2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围;(3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0］上单调递减,在［0,+∞)上单调递增?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.返回目录【【解析解析】】f′(x)=ex-a.(1)若a≤0,f′(x)=ex-a≥0恒成立,即f(x)在R上递增.若a>0,ex-a≥0,e∴x≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).(2)f(x) 在R内单调递增,f′(x)≥0∴在R上恒成立.∴ex-a≥0,即a≤ex在R上恒成立.∴a≤(ex)min,又 ex>0,a≤0.∴【【分析分析】】(1)通过解f′(x)≥0求单调递增区间;(2)转化为恒成立问题求a;(3)假设存在a,则x=0为极小值点,或利用恒成立问题.返回目录(3)解法一解法一:由题意知ex-a≤0在(-∞,0］上恒成立.∴a≥ex在(-∞,0］上恒成立. ex在(-∞,0］上为增函数.∴x=0时,ex最大为1.a≥1.∴同理可知ex-a≥0在［0,+∞)上恒成立.∴a≤ex在［0,+∞)上恒成立.∴a≤1,a=1.∴解法二解法二:由题意知,x=0为f(x)的极小值点.∴f′(0)=0,即e0-a=0,a=1.∴返回目录【【评析评析】】利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便,但应注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件,在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0［或f′(x)≤0］,x(a,b)∈恒成立,且f′(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,这就是说,函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f′(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间,因此,在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时,应令f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解),然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去,若f′(x)不恒为0,则由f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立解出的参数的取值范围确定.＊对应演练＊＊对应演练＊设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a≥-1,求f(x)的单调区间.由已知得函数f(x)的定义域为（－１，＋∞）,且f′(x)=(a≥－1).(1)当-1≤a≤0时,由f′(x)<0知,函数f(x)在(-1，+）上单调递减.返回目录1x1-ax(2)当a>0时，由f′（x）=0,解得x=.a1f′（x）,f(x)随x的变化情况如下表：x(-1,)f′（x）-0+f（x）极小值a1a1),1(a返回目录↘↗从上表可知当x(-1,)∈时，f′(x)<0,函数f(x)在(-1,)上单调递减.当x(,+∞)∈时,f′(x)>0,函数f(x)在(,+∞)上单调递增.综上所述:当-1≤a≤0时,函数f(x)在(-1,+∞)上单调递减.当a>0时,函数f(x)在(-1,)上单调递减,f(x)在(,+∞)上单调递增.a1a1a1a1a1a1返回目录考点二函数的极值与导数考点二函数的极值与导数已知函数f(x)=x5+ax3+bx+1，当且仅当x=-1，x=1时取得极值，且极大值比极小值大4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的极大值和极小值.【【分...
