高中数学 25 数学归纳法(2)课件 理 新人教A版选修2-2 课件VIP免费

2.3数学归纳法(2)数学归纳法的概念证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤来进行(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立,(2)(归纳递推)假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。验证n=n0时命题成立若当n=k(kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立命题对从n0开始的所有正整数n都成立。归纳奠基归纳递推2135..........(21)nn证明：（1）当n=1时，左边＝1，右边＝等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，就是2112135.........(21)kk那么例2.用数学归纳法证明:当nN222135...........(21)[2(1)1][2(1)1]21(1)kkkkkkk这就是说，当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何nN∈＊都成立。如下证明对吗？证明：①当n=1时，左边＝1右边＝1等式成立。②设n=k时，有2135.........(21)kk2135...........(21)[2(1)1][12(1)1](1)2(1)kkkkk即n=k+1时，命题成立。根据①②问可知，对nN∈＊，等式成立。第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。1）第一步应做什么？此时n0=，左=，2）假设n=k时命题成立，即2222(1)(21)1236kkkk当n=k时，等式左边共有项，第k项是。kk2思考？2222(1)(21)1236nnnn112例3用数学归纳法证明nN3）当n=k+1时，命题的形式是22222123(1)(1)(1)12(1)16kkkkk4）此时，左边增加的项是2(1)k5)从左到右如何变形？2222(1)(21)1236nnnn证明：（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，就是123162222(1)(21)1236kkkk那么用数学归纳法证明nN这就是说，当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何nN∈＊都成立。22222222123(1)(1)(21)(1)(21)6(1)(1)66(1)(276)(1)(2)(23)66(1)(1)12(1)16kkkkkkkkkkkkkkkkkkk1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，当n＝1时，左边所得项是；当n＝2时，左边所得项是；1+2+31+2+3+4+522111,11nnaaaaan2.用数学归纳法证明nN,a1在验证成立时，左边是（）A、1B、1+aC、1+a+a2D、1+a+a2+a3C课堂练习：123411111447710(32)(31)SSSSSnnn例1已知数列，，，，计算，，，，根据计算的结果，猜想的表达式，并且数学归纳法证明进行证明。1341310110310310717272741414141143432321211aSSaSSaSSaS＝＝＝＝解：13Snnn猜想：，猜想成立。，右边＝时，左边＝）当（41113141111Sn时，猜想成立，）假设当（kn213)13)(23(11071741411kkkk即]1)1(3][2)1(3[1)13)(23(11071741411kkkk那么，)43)(13(113kkkk)43)(13(1432kkkk)43)(13(1432kkkk)43)(13()1)(13(kkkk431kk1)1(31kk时，猜想也成立，即当1kn都成立。），可知猜想对任何），（根据（Nn21例题1、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1)••••证明：①n=1时：左边=1+1=2，右边=211=2•，左边=右边，等式成立。②假设当n=k((k∈N）时有：(k+1)(k+2)…(k+k)=2k13…(2n-1),••••当n=k+1时：左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)•=2k13…(2k-1)(2k+1)2•••••=2k+113…(2k-1)[2(k+1)-1]=•••••右边，∴当n=k+1时等式也成立。由①、②可知，对一切n∈N,原等式均成立。（2k+1)(2k+2)k+11.已知:,则等于()A:B:C:D:131...2111)(nnnnf)1(kf1)1(31)(Kkf231)(Kkf11431331231)(KKKKkf11431)(KKkfC练习：点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它...