备课资讯12等差数列的求解“点悟”【例1】设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则()A．S40，则S4＝S50，根据题意，有(a1＋2d)(a1＋6d)＝－12，(a1＋3d)＋(a1＋5d)＝－4.解得a1＝－10，d＝2，或a1＝6，d＝－2(舍去)．∴an＝a1＋(n－1)d＝－10＋2(n－1)＝2n－12.方法二设等差数列{an}的公差为d，且d>0，即数列{an}是一个递增数列．∵a3＋a7＝a4＋a6＝－4，a3·a7＝－12，∴a3，a7是一元二次方程x2＋4x－12＝0的两根，解得a3＝－6，a7＝2，或a3＝2，a7＝－6(舍去)．由a7＝a3＋4d，得d＝2.故an＝a3＋(n－3)d＝－6＋2(n－3)＝2n－12.点评树立方程观点是解决此类问题的基本数学思想和方法，运用数列性质、方程性质，可减少运算量．【例4】等差数列的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.解析方法一设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，∵S12＝84，S20＝460，∴12a1＋12×12×11d＝84，20a1＋12×20×19d＝460.解得a1＝－15，d＝4.∴Sn＝－15n＋12n(n－1)×4＝2n2－17n，故S28＝2×282－17×28＝1092.方法二不妨设Sn＝an2＋bn，则122a＋12b＝84，202a＋20b＝460，解得a＝2，b＝－17.故S28＝2×282－17×28＝1092.点评充分利用等差数列和Sn的二次函数性．【例5】等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求公差d.解析方法一设等差数列首项为a1，a2＝a1＋d，则12a1＋12×(12－1)2d＝354，即2a1＋11d＝59.又6(a1＋d)＋6×(6－1)2·2d6a1＋6×(6－1)2·2d＝3227，即5a1－2d＝0，消去a1求得d＝5.方法二由S奇＋S偶＝354，S偶S奇＝3227.得S奇＝162，S偶＝192.又S偶－S奇＝30＝6d，求得d＝5.点评充分注意S奇与S偶的内在联系，会给解题带来方便．【例6】是否存在数列{an}，同时满足下列条件：①{an}是等差数列，且公差不为零；②数列1an也成等差数列．解析方法一设符合条件的数列{an}存在，其首项为a1，公差为d≠0，有an＝a1＋(n－1)d.又∵1an也成等差数列．∴1a1＋d－1a1＝1a1＋2d－1a1＋d，有－1(a1＋d)a1＝－1(a1＋2d)(a1＋d)，即1a1＝1a1＋2d，a1＋2d＝a1，即d＝0.这与公差不为零矛盾．故不存在符合条件的数列{an}．方法二设符合条件的数列{an}存在，则an＋an＋2＝2an＋1，且1an＋1an＋2＝2an＋1，有(an＋an＋2)1an＋1an＋2＝4，即(an＋an＋2)2＝4an·an＋2，(an－an＋2)2＝0，得an＝an＋2，这与公差不为零矛盾．故不存在符合条件的数列{an}．点评充分利用等差数列公式的等价形式，解法方便易行．将以上两种解法对照，你会感悟到“通法诚可贵，巧解价亦高”吧！返回
