线性代数（同济六版全课件•第一章行列式•第二章矩阵•第三章向量•第四章线性方程组•第五章特征值与特征向量第一章行列式01定义01行列式表示一个数，由排列的n个数a1,a2,...,an的n阶乘积构成，记作Dn或det(a1,a2,...,an)。代数余子式02去掉行列式某一行和某一列后所剩下的n-1阶行列式，乘以-1的i+j次幂，记作Aij。转置03行列式D的第i行第j列元素记作d(i,j)，则D的转置D'的第i行第j列元素为d(j,i)。定义与性质递推法利用已知的较低阶行列式的值，通过递推关系计算高阶行列式的值。范德蒙德公式计算形如V(a1,a2,...,an)的n阶行列式，其中V(a1,a2,...,an)表示a1,a2,...,an的范德蒙德行列式。展开法利用代数余子式展开法则，将行列式展开为若干项代数余子式的乘积。计算方法利用行列式计算向量点积，如向量a=(a1,a2,...,an)，b=(b1,b2,...,bn)，则a·b=|ab|=Dn。向量点积利用行列式计算向量叉积，如向量a=(a1,a2,...,an)，b=(b1,b2,...,bn)，则a×b=(Dn/D1,D2/D1,...,Dn/D1)。向量叉积应用实例第二章矩阵02•·矩阵的行数和列数称为矩阵的阶数。矩阵的转置是将矩阵的行列互换得到的新的矩阵。矩阵的基本定义与性质矩阵是由数字组成的矩形阵列，表示为二维数组。矩阵的加法、数乘等运算满足结合律、交换律和分配律。010203040506定义与性质计算方法矩阵的运算规则与计算方法矩阵的加法是对应元素相加。矩阵的乘法满足结合律、交换律和分配律。•·数乘矩阵是矩阵的每个元素都乘以该数。逆矩阵是满足$AB=BA=I$的矩阵，其中$I$是单位矩阵。应用实例矩阵在实际问题中的应用•·在物理、工程、经济等领域中，矩阵可以表示系统的状态、参数和变量之间的关系。在图像处理中，矩阵可以表示像素的位置和颜色信息。在线性方程组中，矩阵可以表示方程组中的系数和常数项。第三章向量03向量的基本定义与性质•·向量是一个有方向的量，表示为$overset{longrightarrow}{a}$，其大小（或长度）表示为$|overset{longrightarrow}{a}|$。向量具有方向性，其方向由箭头的指向决定。向量的模（或长度）是标量，表示为$|overset{longrightarrow}{a}|$，计算公式为：$|overset{longrightarrow}{a}|=sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+cdots+a_{n}^{2}}$。0102030405定义与性质•向量的基本运算向量的运算01向量的加法：设$overset{longrightarrow}{a}=(a_{1},a_{2},ldots,a_{n})$，$overset{longrightarrow}{b}=(b_{1},b_{2},ldots,b_{n})$，则$overset{longrightarrow}{a}+overset{longrightarrow}{b}=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},ldots,a_{n}+b_{n})$。02向量的数乘：设实数$k$与向量$overset{longrightarrow}{a}$的数乘为$koverset{longrightarrow}{a}$，其结果为$(ka_{1},ka_{2},ldots,ka_{n})$。03向量的减法：$overset{longrightarrow}{a}-overset{longrightarrow}{b}=(a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},ldots,a_{n}-b_{n})$。向量的运算向量在实际问题中的应用•·力的合成与分解：在物理中，力可以表示为向量，通过向量的加法、减法和数乘可以方便地计算力的合成与分解。速度和加速度的分析：在运动学中，速度和加速度可以表示为向量，通过向量的加法、减法和数乘可以方便地分析物体的运动状态。线性方程组的解法：在解线性方程组时，可以将方程组中的系数和常数项表示为向量，通过向量的运算来求解方程组。应用实例第四章线性方程组04ABCD解的存在性线性方程组解的存在性线性方程组可能无解、有唯一解或有无穷多解，这取决于系数矩阵和常数矩阵的相对大小。有唯一解的情况当系数矩阵的秩等于常数矩阵的秩时，线性方程组有唯一解。无解的情况当系数矩阵的秩大于常数矩阵的秩时，线性方程组无解。无穷多解的情况当系数矩阵的秩小于常数矩阵的秩时，线性方程组有无穷多解。高斯消元法通过一系列行变换将系数矩阵化为行阶梯形矩阵，从而求解线性方程组。回带法在得到行阶梯形矩阵后，通过回带法求解线性方程组的解。迭代法对于无解或无穷多解的情况，可以使用迭代法来逼近解。解的求解方法01例如，弹性力学中的平衡方程、电路中的欧姆定律等都可以用线性方程组表示。线性方程组在物理中的应用02例如，投入产出分析、最...
