3第 4 节 直 角 坐 标 系 下 三 重 积 分 的 计 算我们直接给出三重积分，的计算方法．不追求它的严格证明，只要求同学们理解、记住、练熟下面的计算方法步骤。（参看图 4.1）(1) 将积分区域投影到面，得投影区域．(2) 以的边界曲线为准线，作一个母线平行于轴的柱面．柱面与闭区域的边界曲面相交将分割为上、下两片曲面；，且．则，（二重积分里面套一个定积分。称为二套一方法。）只要你会做里面的定积分，再会做外面的二重积分，三重积分就算出来了。（测）约定：。做里层定积分的时候，视为常数，里层定积分的结果是的函数。里层积分的上下限总是外层变量的函数。（和的找法：，过点平行于轴的直线截得截线（图 4.1）。）图4.1yOzxba（小边界）xyD（大边界）（小边界）（大边界）2z1z1S2S16离 散 数 学利用图 4.1 的上区域，在轴上投影，的小边界大边 界（ 此 时 积 分 区 域表 示 为），我们可以进一步把外层的二重积分写成二次积分这样，三重积分就变成了做三次定积分，称为三次积分。约定：。上式是先对，后对，再对的三次积分．里层积分的上下限总是外层变量的函数。做里层积分时，外层变量固定为常数。同理，如果积分区域表示为将积分区域投影到面上得投影区域。，可类似地将三重积分化为 (4.2)先对，后对 （或），再对 （或）的三次积分。其中，，的，。 若将区域投影到面得区域，可将三重积分化为． (4.3)其中，，的，。上面并没有列举完三重积分化为三次积分的全部可能情形。由此可看到，三重积分化为三次积分的关键也在于将积分区域用不等式组表示出来．为了避免出错，希望同学们严格顺序：首先把三重积分变成二套一，再把二套一变成三次积分。小技巧：如果你只熟悉“同理”前计算方法，在整个题中，改一下（比如说把改成把改成），就可变成“同理”前的计算方法。结果不变。15第 1 章 集 合（黑板解析）16离 散 数 学思考题：1．若穿过区域且平行于对应坐标轴的直线与的边界曲面的交点多于两个时，如何化三重积分为三次积分？（分割。）【例 4.1】 将三重积分化为三次积分，其中为由曲面，及三个坐标面所围成的位于第一卦限的部分．解 画出两张曲面和，就得到积分区域（见图4.2）。将区域分别向三个坐标面投影，有三种不同的解法．(1) 将区域向面投影，得，的小边界，大边界。区域的不等式组表示式为，在轴上的投影，的小边界大边界。所以 ．(2) 将区域向面投影，得。的小边界...
