函数的奇偶性与周期公式推导方法一、奇函数、偶函数对于函数，其定义域关于原点对称：1、对于函数的定义域内任意一个 x，都有 f（－x）=－f（x）〔或 f（x）+ f（－x）=0〕，则称为奇函数.2、对于函数的定义域内任意一个 x，都有 f（－x）=f（x）〔或 f（x）－f（－x）=0〕，则称为偶函数.二、判断函数的奇偶性1、定义法① 判断有解析式的函数的奇偶性例 1、判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|－|x－1|； （2）f（x）=（1+x）·；（3）； （4）剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域 x∈（－∞，+∞），对称于原点. f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数.先确定函数的定义域.由≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以既不是奇函数也不是偶函数。1 解：：函数定义域 －1＜x＜1 ＝ ∴ ∴是偶函数（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由得故 f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有 x+2＞0.从而有f（x）= = ，这时有 f（－x）==－=－f（x），故 f（x）为奇函数.（4） 函数 f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当 x＞0 时，－x＜0，∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.当 x＜0 时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.故函数 f（x）为奇函数.评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.② 证明抽象函数的奇偶性例 2、已知 f（x）是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对于任意的 a，b∈R 都满足：f（a·b）=af（b）+bf（a）． 求 f（0），f（1）的值；（2）判断 f（x）的奇偶性，并证明你的结论． 分析：应用公式 f（a·b）=af（b）+bf（a），取 a、b 的一些特殊的值进行计算． 解：（1）f（0）=f（0·0）=0·f（0）+0·f（0）=0； 由 f（1）=f（1·1）=1·f（1）+1·f（1）， 得 f（1）=0． （2）f（x）是奇函数．2 证明：因为 f（1）=f［（－1） 2 ］=－f（－1）－f（－1）=0， 所以 f（－1）=0， f（－x）=f（－1·x）=－f（x）+xf（－1）=－f（x）． 因此，f（x）为奇函数． 点评：研究抽象函数的奇偶性，应紧紧围绕题目所给的抽象函数的性质进行研究．如果觉得所给抽象函数的性质符合某些已知函数（如二次函数等）的性质，可以用已知函数替代抽象函数...
