函数的奇偶性与周期公式推导方法一、奇函数、偶函数对于函数，其定义域关于原点对称：1、对于函数的定义域内任意一个 x，都有 f（－x）=－f（x）〔或 f（x）+ f（－x）=0〕，则称为奇函数
2、对于函数的定义域内任意一个 x，都有 f（－x）=f（x）〔或 f（x）－f（－x）=0〕，则称为偶函数
二、判断函数的奇偶性1、定义法① 判断有解析式的函数的奇偶性例 1、判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|－|x－1|； （2）f（x）=（1+x）·；（3）； （4）剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断
解：（1）函数的定义域 x∈（－∞，+∞），对称于原点
f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数
先确定函数的定义域
由≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以既不是奇函数也不是偶函数
1 解：：函数定义域 －1＜x＜1 ＝ ∴ ∴是偶函数（3）去掉绝对值符号，根据定义判断
由得故 f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有 x+2＞0
从而有f（x）= = ，这时有 f（－x）==－=－f（x），故 f（x）为奇函数
（4） 函数 f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当 x＞0 时，－x＜0，∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）
当 x＜0 时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）
故函数 f（x）为奇函数
评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明
（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式
② 证明抽象函数的奇偶性例 2、已知 f（x）是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对于任意的 a，b∈R 都满足：f（a·b）=af（b）+bf（a）． 求
