高考数学二轮复习 专题一第4讲导数及其应用课件 理 大纲人教版 课件VIP免费

第4讲 导数及其应用 感悟高考 明确考向 (2010·北京)设函数f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程 f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4. (1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式； (2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围． 解 由f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d， 得f′(x)＝ax2＋2bx＋c. 因为f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两个根分别为1,4， 所以 a＋2b＋c－9＝0，16a＋8b＋c－36＝0. (*) (1)当a＝3时，由(*)式得 2b＋c－6＝0，8b＋c＋12＝0. 解得 b＝－3，c＝12. 又因为曲线y＝f(x)过原点，所以d＝0. 故f(x)＝x3－3x2＋12x. (2)由于a>0，所以“f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d在(－∞， ＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”． 由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a. 又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)． 由 a>0，Δ＝9a－1a－9≤0， 得1≤a≤9， 即a的取值范围是[1,9]． 考题分析 本题主要考查了函数的导数、函数的解析式以及函数的极值点的概念．考查了换元消元的解题方法以及转化与化归、函数与方程的数学思想方法．题目难度不大，特点鲜明． 易错提醒 (1)构建不出关于a、b、c的方程组． (2)搞不清“f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点”与“f′(x)≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”的等价关系． (3)易忽视条件a>0的应用． (4)想不到换元方法，消不去b、c. (5)计算错误． 主干知识梳理 1．导数的几何意义 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)． (2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (3)导数的物理意义：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)． 2．基本初等函数的导数公式和运算法则 (1)基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈N*) f′(x)＝nxn－1 (2)导数的运算法则 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)，[C·f(x)]′＝Cf′(x)． 3．函数的性质与导数 (1)在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增； 在区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)；②求f′(x)＝0的根； ③判定根两侧导数的符号；④下结论． (3)求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f′(x)； ②求f′(x)＝0的根(...