第 14 章 勾股定理单元综合复习 ( 四 ) 勾股定理 命题点 有关勾股定理的计算与求值 1. 如图所示，将长方形 ABCD 沿直线 BD 折叠，使点 C 落在点 C′处，BC′交 AD 于点 E，AD＝8，AB＝4，求△ BED 的面积． 解： AD∥ BC，2∴∠ ＝3∠ . △ BC′D 与△ BCD关于直线 BD 对称，1∴∠ ＝2∠ ，1∴∠ ＝3∠ ，∴EB＝ED. 设 EB＝x，则 ED＝x，AE＝AD－ED＝8－x. 在Rt△ ABE 中，AB2＋AE2＝BE2. 4∴ 2＋(8－x)2＝x2，∴x＝5，∴DE＝5. ∴S△ BED＝12DE·AB＝12×5×4＝10. 命题点 转化思想的应用 2. 如图，正四棱柱的底面边长为 5 cm ，侧棱长为8 cm ，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的顶点 A 沿棱柱的表面爬到顶点 C′处吃食物，那么它需要爬行的最短路程是多少？ 解：(1)将侧面 A′ABB′和侧面 B′BCC′展开如图①，连结 AC′，因为 AB＝BC＝5 cm ，CC′＝8 cm ，由勾股定理得 AC′＝ AC2＋CC′2＝ 102＋82＝ 164(cm )． (2)将底面 A′B′C′D′和侧面 A′ABB′展开如图②，连结AC′，因为 AB＝5 cm ，BC′＝BB′＋B′C′＝8＋5＝13 cm ，由 勾 股 定 理 得 AC′ ＝AB2＋BC′2 ＝52＋132 ＝194(cm )．又 194> 164， 所以蚂蚁要爬行的最短路径长为 164 cm . 命题点 分类讨论思想 3. 在△ ABC 中，若 AB＝20，AC＝15，BC 边上的高为 12，求△ ABC 的面积． 解：设 BC 边上的高为 AD，则△ ABD，△ ACD 是直角三角形．由勾股定理，得 BD＝ AB2－AD2＝ 202－122＝16. CD＝ AC2－AD2＝ 152－122＝9. (1)若∠C 是锐角，如图①所示，则 BC＝BD＋CD＝16＋9＝25. 所以 S△ ABC＝12BC·AD＝12×25×12＝150. (2)若∠ACB 是钝角，如图②所示， 则 BC＝BD－CD＝16－9＝7. 所以 S△ ABC＝12BC·AD＝12×7×12＝42. 综上所述，△ ABC 的面积为 150 或 42. 命题点 勾股定理及其逆定理的综合应用 4. 如图，BD⊥CD，AB＝12，AC＝13，BD＝4，DC＝3，则该图形的面积为 ． 30 5. 一船在灯塔 C 的正东方向 8 海里的 A 处，以 20海里/时的速度沿北偏西 30°方向行驶．(提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半) (1)多长时间后，船距灯塔最近？ (2)多长时间后，船到灯塔的正北方向？此时船距灯塔有多远？(其中：162－82≈13. 92) 解：(1)如图所示，由题意可知，当船航行到 D 点时，距灯...
