第二十一章 一元二次方程专题 2 一元二次方程的根的判别式武汉专版 · 九年级上册一、判别方程根的情况1 ．判断下列说法：①若 a≠0 ，方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 和方程 ax2 － bx － c ＝ 0 中至少有一个方程有实数根；②若 (a ＋ c)2≤b2 ，则关于 x 的一元二次方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 必有实数根；③若 b2 ＋4ac ＞ 0 ，则关于 x 的方程 ax2 ＋ bx － c ＝ 0 一定有两个不相等的实数根；④若方程 ax2 ＋ bx － c ＝0 有两个不相等的实数根，则方程 cx2 ＋ bx － a ＝ 0 也一定有两个不相等的实数根．其中一定正确的说法是 ____ ． ( 填序号 )2 ．不解方程，直接判断下列方程根的情况：(1)2x2－ 2x－14＝0；(2)12x2－mx＋m－12＝0(m 为常数)．①②二、确定系数中字母的取值范围3 ．关于 x 的一元二次方程 (m － 2)2x2 ＋ (2m ＋ 1)x ＋ 1 ＝ 0 有实数根，那么 m 的取值范围是 ( )4 ． ( 教材 P17T13 变式 ) 已知关于 x 的方程 k2x2 ＋ (1 － 2k)x ＋ 1 ＝ 0 有两个不相等的实数根，求 k的取值范围．A．m＞34B．m≥34C．m＞34且 m≠2D．m≥34且 m≠2【解析】由题意得 k2≠0，Δ＝（1－2k）2－4k2＞0，解得 k＜14且 k≠0.D三、判别式与几何问题5 ．如图，四边形 ABCD 中， CD 和 BC 的长是关于 x 的方程 x2 － (m ＋ 2)x ＋ (2m2 － m ＋ ) ＝ 0的两个实数根，∠ DAB ＝∠ DCB ＝ 90° ， AD ＝ 2 ，求 AC 的长．2127【解析】由Δ＝(m＋2)2－4×12×(2m2－m＋72)＝－3(m－1)2≥0，得 m＝1，将 m＝1 代入原方程，得 CD＝BC＝3.作 CF⊥AD 于 F，CE⊥AB 于 E，易证△CDF≌△CBE，∴CF＝CE，∴AC平分∠FAB，∴∠CAF＝45°，∴AC＝ 2AE，设 AE＝x，则 DF＝x－2，由 CF2＋DF2＝CD2，得x2＋(x－2)2＝9，解得 x1＝2＋ 142，x2＝2－ 142(舍去)．故 AC＝ 2AE＝2 2＋2 72＝ 2＋ 7.四、判别式与最值6 ．已知 y ＝ ，求 y 的最小值．xx2－4x＋4【解析】分两种情况：①当 x＝0 时，y＝0；②当 x≠0 时，y≠0.此时，有 yx2－(4y＋1)x＋4y＝0.由Δ≥0，得 y≥－18.综上，ymin＝－18.
