母题十九 圆锥曲线的几何性质及其综合应用【母题原题 1】【2018 天津，文 19】设椭圆 的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，．（I）求椭圆的方程；（II）设直线与椭圆交于两点， 与直线交于点，且点均在第四象限．若的面积是面积的 2 倍，求的值．【考点分析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分 14 分．【答案】(Ⅰ)；（II）．试 题 解 析 ： （ I ） 设 椭 圆 的 焦 距 为， 由 已 知 得， 又 由， 可 得． 由，从而．所以，椭圆的方程为．（ II ） 设 点的 坐 标 为， 点的 坐 标 为， 由 题 意 ，， 点的 坐 标 为．由的面积是面积的 2 倍，可得，从而，即．易知直线的方程为，由方程组消去，可得．由方程组消去，可得．由，可得，两边平方，整理得，解得，或．x//kw 当时，，不合题意，舍去；当时，，符合题意．所以，的值为．【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．【母题原题 2】【2017 天津，文 20】设 椭 圆的 左 焦 点 为， 右 顶 点 为， 离 心 率 为． 已 知是 抛 物 线的焦点，到抛物线的准线 的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设 上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点．若的面积为，求直线的方程．【答案】（1），；（2），或．【解析】试题分析：由于为抛物线焦点，到抛物线的准线 的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则，设直线方程为设，解出两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出 所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为解方程求出，得出直线的方程．试题解析：（Ⅰ）设的坐标为．依题意，，，，解得，，，于是．∴椭圆的方程为，抛物线的方程为．（II）解法一：设直线的方程为，与直线 的方程联立，可得点，，解得，∴．∴直线的方程为，或．解法二：设则从而直线的方程为，代入椭圆方程，整理得．两根之积为代 入， 得． ∴ 直 线的 方 程 为 ：， 即．令，得，解得．解得直线的方程...
