6 个解答题专项强化练(四) 数 列1．已知{an}为等差数列，前 n 项和为 Sn(n∈N*)，{bn}是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{a2nb2n－1}的前 n 项和(n∈N*)．解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q.由已知 b2＋b3＝12，得 b1(q＋q2)＝12，而 b1＝2，所以 q2＋q－6＝0.又因为 q＞0，解得 q＝2.所以 bn＝2n.由 b3＝a4－2a1，可得 3d－a1＝8.①由 S11＝11b4，可得 a1＋5d＝16.②由①②，解得 a1＝1，d＝3，由此可得 an＝3n－2.所以数列{an}的通项公式为 an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为 bn＝2n.(2)设数列{a2nb2n－1}的前 n 项和为 Tn，由 a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，得 a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，故 Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，上述两式相减，得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1＝－4－(3n－1)×4n＋1＝－(3n－2)×4n＋1－8.故 Tn＝×4n＋1＋.所以数列{a2nb2n－1}的前 n 项和为×4n＋1＋.2．已知数列{an}满足：a1＝，an＋1－an＝p·3n－1－nq，n∈N*，p，q∈R.(1)若 q＝0，且数列{an}为等比数列，求 p 的值；(2)若 p＝1，且 a4为数列{an}的最小项，求 q 的取值范围．解：(1) q＝0，an＋1－an＝p·3n－1，∴a2＝a1＋p＝＋p，a3＝a2＋3p＝＋4p，由数列{an}为等比数列，得 2＝，解得 p＝0 或 p＝1.当 p＝0 时，an＋1＝an，∴an＝，符合题意；当 p＝1 时，an＋1－an＝3n－1，∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝＋(1＋3＋…＋3n－2)＝＋＝·3n－1，∴＝3.符合题意．∴p 的值为 0 或 1.(2)法一：若 p＝1，则 an＋1－an＝3n－1－nq，∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝＋(1＋3＋…＋3n－2)－[1＋2＋…＋(n－1)]q＝[3n－1－n(n－1)q]． 数列{an}的最小项为 a4，∴对任意的 n∈N*，有[3n－1－n(n－1)q]≥a4＝(27－12q)恒成立，即 3n－1－27≥(n2－n－12)q 对任意的 n∈N*恒成立．当 n＝1 时，有－26≥－12q，∴q≥；当 n＝2 时，有－24≥－10q，∴q≥；当 n＝3 时，有－18≥－6q，∴q≥3；当 n＝4 时，有 0≥0，∴q∈R；当 n≥5 时，n2－n－12>0，所以有 q≤恒成立，令 cn＝(n≥5，n∈N*)，则 cn＋1－cn＝>0，即数列{cn}为递增数列，∴q≤c5...
