（全国通用）高考数学一轮总复习 第十章 圆锥曲线 10.5 曲线与方程专用题组 理 新人教B版-新人教B版高三全册数学试题VIP免费

§10.5 曲线与方程考点 轨迹与轨迹方程6.(2011 北京,14,5 分)曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:① 曲线 C 过坐标原点;② 曲线 C 关于坐标原点对称;③ 若点 P 在曲线 C 上,则△F1PF2的面积不大于 a2.其中,所有正确结论的序号是 . 答案 ②③解析 设动点 M(x,y)到两定点 F1,F2的距离的积等于 a2,得曲线 C 的方程为·=a2. a>1,故原点坐标不满足曲线 C 的方程,故①错误.以-x,-y 分别代替曲线 C 的方程中的x,y,其方程不变,故曲线 C 关于原点对称,即②正确.=|PF1|×|PF2|×sin∠F1PF2=a2·sin∠F1PF2≤a2,故③正确.评析 本题考查动点轨迹方程的求法,曲线关于原点对称的判定以及三角形面积公式,考查逻辑推理能力.解题的关键是求出曲线的方程,利用曲线上的点关于原点对称的点仍在曲线上,来判定曲线关于原点对称,本题综合性强,属于难题.7.(2014 重庆,21,12 分)如图,设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 D 在椭圆上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为.(1)求椭圆的标准方程;(2)设圆心在 y 轴上的圆与椭圆在 x 轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.解析 (1)设 F1(-c,0),F2(c,0),其中 c2=a2-b2.由=2 得|DF1|==c.从而=|DF1||F1F2|=c2=,故 c=1.从而|DF1|=,由 DF1⊥F1F2得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=,因此|DF2|=.所以 2a=|DF1|+|DF2|=2,故 a=,b2=a2-c2=1.因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1.(2) 如 图 , 设 圆 心 在 y 轴 上 的 圆 C 与 椭 圆 +y2=1 相 交 ,P1(x1,y1),P2(x2,y2) 是 两 个 交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆 C 的切线,且 F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性,易知 x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|.由(1)知 F1(-1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1).再由 F1P1⊥F2P2得-(x1+1)2+=0.由椭圆方程得 1-=(x1+1)2,即 3+4x1=0,解得 x1=-或 x1=0.当 x1=0 时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在.当 x1=-时,过 P1,P2分别与 F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心 C.由 F1P1,F2P2是圆 C 的切线,且 F1P1⊥F2P2,知 CP1⊥CP2.又|CP1|=|CP2|,故圆 C 的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=.8.(2013 福建,18,13 分)如图,在正方形 OABC 中,O 为坐标原点,点 A 的坐标为(10,0),点 C 的坐标为(0,10).分别将线段 OA 和 AB 十等分,分点分别记为 A1,A2,…,A9...