解析几何专练·作业(三十一)1．(2015·吉林长春统考)已知点 A(0，－2)，椭圆 E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为，O 为坐标原点．(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求 l 的方程．解析 (1)设 F(c,0)，由条件知，＝，得 c＝
又＝，所以 a＝2，b2＝a2－c2＝1
故 E 的方程为＋y2＝1
(2)当 l⊥x 轴时，不合题意，故设 l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将 y＝kx－2 代入＋y2＝1 得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0
当 Δ＝16(4k2－3)>0，即 k2>时，x1,2＝
从而|PQ|＝|x1－x2|＝
又点 O 到直线 PQ 的距离 d＝，所以△OPQ 的面积 S△OPQ＝d·|PQ|＝
设＝t，则 t>0，S△OPQ＝＝
因为 t＋≥4，当且仅当 t＝2，即 k＝±时，等号成立，且满足 Δ>0
所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y＝x－2 或 y＝－x－2
2．(2015·安徽淮北模拟)已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的上顶点为 A，左、右焦点分别为 F1，F2，且椭圆 C 过点 P(，)，以 AP 为直径的圆恰好过右焦点 F2
(1)求椭圆 C 的方程；(2)若动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，试问：在 x 轴上是否存在两定点，使其到直线 l 的距离之积为 1
若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．解析 (1)因为椭圆过点 P(，)，所以＋＝1，解得 a2＝2
又以 AP 为直径的圆恰好过右焦点 F2，所以 AF2⊥F2P，即－·＝－1，b2＝c(4－3c)．而b2＝a2－c2＝2－c2，所以 c2－2c＋1＝0，解得 c＝1，故椭圆 C 的方程是＋y2
