第十三篇 几何证明选讲(选修 4 1)第 1 节 相似三角形的判定及有关性质【选题明细表】知识点、方法题号平行线截割定理及应用4相似三角形的判定与性质1,3直角三角形的射影定理21.如图所示,平行四边形 ABCD 中,E 是 CD 延长线上的一点,BE 与 AD 交于点 F,DE=CD. (1)求证:△ABF∽△CEB;(2)若△DEF 的面积为 2,求平行四边形 ABCD 的面积.(1)证明:因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以∠A=∠C,AB∥CD.所以∠ABF=∠CEB.所以△ABF∽△CEB.(2)解:因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 AD∥BC,AB∥CD.所以△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.因为 DE=CD,所以==,==.因为 S△DEF=2,所以 S△CEB=18,S△ABF=8.所以 S 四边形 BCDF=S△CEB-S△DEF=16.所以 S 平行四边形 ABCD=S 四边形 BCDF+S△ABF=16+8=24.2.已知 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为 D,DF⊥AC,垂足为 F,DE⊥AB,垂足为 E. 求证:(1)AB·AC=AD·BC;(2)AD3=BC·BE·CF.证明:(1)因为∠BAC=90°,AD⊥BC,所以∠BAC=∠ADB,又因为∠B=∠B,所以△ABD∽△CBA,所以=,即 AB·AC=AD·BC.(2)由题 AD2=BD·DC,所以 AD4=BD2·DC2=BE·BA·CF·CA=BE·CF·AD·BC,所以 AD3=BC·BE·CF.3.如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 B 作 BE⊥CD,垂足为 E,连接 AE,F 为 AE 上一点,且∠BFE=∠C. (1)求证:△ABF∽△EAD;(2)若∠BAE=30°,AD=3,求 BF 的长.(1)证明:因为 AB∥CD,所以∠BAF=∠AED.又因为∠BFE=∠C,∠BFE+∠BFA=∠C+∠EDA,所以∠BFA=∠ADE.所以△ABF∽△EAD.(2)解:因为∠BAE=30°,所以∠AEB=60°,所以=sin 60°=,又=,所以 BF=·AD=.4.如图所示,梯形 ABCD 中,AD∥BC,EF 经过梯形对角线的交点 O,且 EF∥AD. (1)求证:OE=OF;(2)求:+的值;(3)求证:+=.(1)证明:因为 EF∥AD,AD∥BC,所以 EF∥AD∥BC.因为 EF∥BC,所以=,=.因为 EF∥AD∥BC,所以=.所以=,所以 OE=OF.(2)解:因为 OE∥AD,所以=.由(1)知=,所以+=+==1.(3)证明:由(2)知+=1,所以+=2.又 EF=2OE,所以+=2,所以+=.
