星期六 (综合限时练) 解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80 分钟．)1．(本小题满分 12 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a5＋a6＝24，S11＝143，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，满足 2an－1＝λTn－(a1－1)(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式及数列的前 n 项和；(2)是否存在非零实数 λ，使得数列{bn}为等比数列
并说明理由．解 (1)设数列{an}的公差为 d，由 S11＝11a6＝143，∴a6＝13，又 a5＋a6＝24，解得 a5＝11，d＝2
因此{an}的通项公式是an＝a5＋(n－5)×2＝2n＋1(n∈N*)，所以＝，从而前 n 项的和为＋＋…＋＝＝
(2)因为 a1＝3，2an－1＝λTn－(a1－1)(n∈N*)，所以 4n＝λTn－2⇒Tn＝4n＋
当 n＝1 时，b1＝；当 n≥2 时，bn＝Tn－Tn－1＝4n－1
所以 bn＋1＝4bn(n≥2)，若{bn}是等比数列，则有 b2＝4b1，而 b1＝，b2＝，所以＝2，与 b2＝4b1矛盾，故数列{bn}不是等比数列．2．(本小题满分 12 分)钓鱼岛及其附近海域自古以来就是中国人民进行捕鱼、避风、休息的场所，被誉为深海中的翡翠．某学校就钓鱼岛有关常识随机抽取了 16 名学生进行测试，用“10 分制”以茎叶图方式记录了他们对钓鱼岛的了解程度，分别以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶．(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若所得分数不低于 9
5 分，则称该学生对钓鱼岛“非常了解”，若从这 16 人中随机选取3 人，求至多有 1 人“非常了解”的概率；(3)以这 16 人的样本数据来估计该所学校学生的总体数据，若从该学校(人数可视为很多)任选 3 人，记 ξ 表示抽到“非常了解”的人数，求 ξ 的分布列及数
