第二讲 数列的综合问题1．(2019·长春二模)各项均为整数的等差数列{an}，其前 n 项和为 Sn，a1＝－1，a2，a3，S4＋1 成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{(－1)n·an}的前 2n 项和 T2n.解析：(1)各项均为整数的等差数列{an}，公差设为 d，d 为整数，a1＝－1，a2，a3，S4＋1 成等比数列，可得 a＝a2(1＋S4)，即(－1＋2d)2＝(－1＋d)(－3＋6d)，可得 d＝2，则 an＝2n－3.(2)由(1)可得 T2n＝－a1＋a2－a3＋a4＋…－a2n－1＋a2n＝(1＋1)＋(－3＋5)＋…＋(5－4n＋4n－3)＝2＋2＋…＋2＝2n.2．(2019·金凤区校级一模)设 Sn为等差数列{an}的前 n 项和，已知 a2＝20，S9＝45.(1)求{an}的通项公式；(2)求 Sn，并求当 Sn取得最大值时 n 的值．解析：(1)设等差数列{an}的公差为 d，∵a2＝20，S9＝45.∴a1＋d＝20,9a1＋36d＝45，联立解得：a1＝25，d＝－5，∴an＝25－5(n－1)＝30－5n.(2)Sn＝＝＝－2＋，可得：n＝5，或 6 时，Sn取得最大值．3．(2019·安庆二模)已知等比数列{an}满足：S1＝1，S2＝4.(1)求{an}的通项公式及前 n 项和 Sn；(2)设 bn＝，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.解析：(1)设等比数列{an}的公比为 q，∵S1＝1，S2＝4.∴a1＝1，a1(1＋q)＝4，解得：a1＝1，q＝3.∴an＝3n－1.Sn＝＝(3n－1)．(2)bn＝＝＝－，∴数列{bn}的前 n 项和 Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.4．(2019·潍坊一模)Sn为等比数列{an}的前 n 项和，已知 a4＝9a2，S3＝13，且公比 q>0.(1)求 an及 Sn；(2)是否存在常数 λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求 λ 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)由题意可得解得 a1＝1，q＝3，∴an＝3n－1，Sn＝＝，(2)假设存在常数 λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列，∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得 λ＝，此时 Sn＋＝×3n，则＝3，故存在常数，使得数列是等比数列．5．(2019·烟台一模)已知等差数列{an}的公差是 1，且 a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前 n 项和 Tn.解析：(1)因为{an}是公差为 1 的等差数列，且 a1，a3，a9成等比数列，所以 a＝a1a9，即(a1＋2)2＝a1(a1＋8)，解得 a1＝1.所以 an＝a1＋(n－1)d＝n.(2)Tn＝1×1＋2×2＋3×3＋…＋n×n，Tn＝1×2＋2×3＋…＋(n－1)×n＋n×n＋1两式相减得Tn＝1＋2＋3＋…＋n－n×n＋1所以 Tn＝－n×n＋1＝1－－所以 Tn＝2－.6．(2019·衡阳一模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S3＝15，a3＋a8＝2a5＋2.(1)求 an；(2)设数列的前 n 项和为 Tn，求证：Tn<.解析：(1)等差数列{an}的公差设为 d，S3＝15，a3＋a8＝2a5＋2，可得 3a1＋3d＝15,2a1＋9d＝2(a1＋4d)＋2，解得 d＝2，a1＝3，则 an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1.(2)证明：∵＝＝＝，∴前 n 项和 Tn＝＝＝－.由>0，可得 Tn<.
