高考数学数列专题一、证明等差等比数列1． 等差数列的证明方法： （1）.定义法：(常数) （2）.等差中项法：2．等比数列的证明方法：（1）.定义法：(常数) （2）.等比中项法：例 1.设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前 n 项和，已知 S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛｝的前 n 项和，求 Tn．解：设等差数列｛an｝的公差为 d，则Sn=na1＋n（n－1）d．∴S7＝7，S15＝75，∴即解得 a1＝－2，d＝1．∴＝a1＋（n－1）d＝－2＋（n－1）． ，∴数列｛｝是等差数列，其首项为－2，公差为，∴Tn＝n2－n．例 2．设数列{an}的首项 a1=1，前 n 项和 Sn满足关系式：3tSn－（2t+3）Sn－1=3t（t>0，n=2，3，4，…）求证：数列{an}是等比数列；解：（1）由 a1=S1=1，S2=1+a2，得 a2=又 3tSn－（2t+3）Sn－1=3t①3tSn－1－（2t+3）Sn－2=3t ②①－②得 3tan－（2t+3）an－1=0∴，（n=2，3，…）1所以{an}是一个首项为 1，公比为的等比数列.练习：(2006 年山东卷）已知 a1=2，点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中=1，2，3，…（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；（2）设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求 Tn及数列｛an｝的通项；答案.(2) ,;二．通项的求法（1）.利用等差等比的通项公式(2).累加法：例 3．已知数列满足，，求。解：由条件知：分 别 令， 代 入 上 式 得个 等 式 累 加 之 ， 即所以，（3）.构造等差或等比或例 4．（2006 年福建卷）已知数列满足求数列的通项公式；解：是以为首项，2 为公比的等比数列。即 2例 5．已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以练习.已知数列满足，且。（1）求；（2）求数列的通项公式。解：（1）（2）∴（4）利用例 6．若和分别表示数列和的前 项和，对任意正整数，.求数列的通项公式；解： ……2 分 当 当……4 分3练习：1. 已知正项数列{an}，其前 n 项和 Sn满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项 an 新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆 解: 10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得 a1=2 或 a1=3新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆 又 10Sn－1=an－...
