第 3 课时 利用向量求空间角课后篇巩固提升基础巩固1.若平面 α 的一个法向量为 n1=(1,0,1),平面 β 的一个法向量是 n2=(-3,1,3),则平面 α 与 β 所成的角等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析因为 n1·n2=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以 α⊥β,即平面 α 与 β 所成的角等于 90°.答案 D2.已知 A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线 AB 和直线 CD 所成角的余弦值为( )A.5√2266B.-5√2266C.5√2222D.-5√2222解析⃗AB=(2,-2,-1),⃗CD=(-2,-3,-3),而 cos⃗AB,⃗CD= ⃗AB·⃗CD|⃗AB||⃗CD|=53×√22=5√2266,故直线AB 和 CD 所成角的余弦值为5√2266.答案 A3.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面 ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,则 AA1与平面 AB1C1所成角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析取 AB 的中点 D,连接 CD,分别以 AD,CD,DE 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,可得 A(1,0,0),A1(1,0,3),故⃗A A1=(0,0,3),而 B1(-1,0,3),C1(0,√3,3),设平面 AB1C1的法向量为 m=(a,b,c),1根据 m·⃗A B1=0,m·⃗AC1=0,解得 m=(3,-√3,2),cos= m·⃗A A1|m||⃗A A1|=12.故 AA1与平面 AB1C1所成角的大小为 30°,故选 A.答案 A4.若二面角 α-l-β 的大小为 120°,则平面 α 与平面 β 的法向量的夹角为( )A.120°B.60°C.120°或 60°D.30°或 150°解析二面角为 120°时,其法向量的夹角可能是 60°,也可能是 120°.答案 C5.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M,N 分别为 AD,C1D1的中点,O 为侧面 BCC1B1的中心,则异面直线 MN 与OD1所成角的余弦值为( )A.16B.14C.-16D.-14解析如图,以 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,DD1所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为 2,则 M(1,0,0),N(0,1,2),O(1,2,1),D1(0,0,2),∴⃗MN=(-1,1,2),⃗O D1=(-1,-2,1).则 cos<⃗MN ,⃗O D1>= ⃗MN ·⃗O D1|⃗MN ||⃗OD1|=1√6×√6 =16.∴异面直线 MN 与 OD1所成角的余弦值为16,故选 A.答案 A6.若两个平面 α,β 的法向量分别是 u=(1,0,1),v=(-1,1,0),则这两个平面所成的锐二面角的度数是 . 解析设这两个平面所成的锐二面角为 θ,则 cosθ=|u·v ||u||v | =|- 1|√2×√2=12,所以锐二面角的度数是60°.答案 60°7.已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E 是侧棱 CC1的中点,则直线 AE 与平面 A1ED 所成角的...
