限时集训（十七）圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题基础过关1.已知椭圆 E: x2a2+ y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,以椭圆的短轴为直径的圆与直线 x-y+❑√6=0相切.(1)求椭圆 E 的方程;(2)设椭圆中过右焦点 F 的弦为 AB、过原点的弦为 CD,若 CD∥AB,求证:|CD|2| AB|为定值.2.已知椭圆 C: x2a2+ y2b2=1(a>b>0)的离心率为❑√22,经过椭圆 C 的右焦点的弦中最短弦的长为2.(1)求椭圆 C 的方程.(2)已知椭圆 C 的左顶点为 A,O 为坐标原点,以 AO 为直径的圆上是否存在一条切线 l 交椭圆C 于不同的两点 M,N,且直线 OM 与 ON 的斜率的乘积为 716?若存在,求出切线 l 的方程;若不存在,请说明理由.3.已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 y 轴上,且抛物线上有一点 P(m,5)到焦点的距离为 6.(1)求该抛物线 C 的方程.(2)已知抛物线上一点 M(4,t),过点 M 作抛物线的两条弦 MD 和 ME,且 MD⊥ME,判断直线 DE 是否过定点?并说明理由.4.已知抛物线 C:x2=8y 与直线 l:y=kx+1 交于 A,B 两个不同的点,分别过点 A,B 作抛物线 C 的切线,所得的两条切线相交于点 P.(1)求证:⃗OA·⃗OB为定值(O 为坐标原点);(2)求△ABP 的面积的最小值及此时直线 l 的方程.能力提升5.设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l.已知点 A 在抛物线 C 上,点 B 在 l 上,△ABF是边长为 4 的等边三角形.(1)求 p 的值.(2)在 x 轴上是否存在一点 N,当过点 N 的直线 l'与抛物线 C 交于 Q,R 两点时,1| NQ|2 +1| NR|2为定值?若存在,求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由.6.已知椭圆 C: x2a2+ y2b2=1(a>b>0)经过点 A 1,32,且两个焦点 F1,F2的坐标依次为(-1,0),(1,0).(1)求椭圆 C 的标准方程.(2)设 E,F 是椭圆 C 上的两个动点,O 为坐标原点,直线 OE 的斜率为 k1,直线 OF 的斜率为 k2,求当 k1·k2为何值时,直线 EF 与以原点为圆心的定圆相切?并写出此定圆的标准方程.限时集训(十七) 基础过关1.解:(1)依题意,原点到直线 x-y+❑√6=0 的距离为 b,则有 b=❑√6❑√12+¿¿¿=❑√3.由❑√a2- b2a=12,得 a2=43 b2=4.∴椭圆 E 的方程为 x24 + y23 =1.(2)证明:① 当直线 AB 的斜率不存在时,易求得|AB|=3,|CD|=2❑√3,则|CD|2| AB|=4.② 当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的斜率为 k,依题意 k≠0,则直线 AB 的方程为 y=k(x-1),直线 CD 的方程为 y=kx.设 A(x1...
