第 1 课时 圆锥曲线的最值、范围、证明问题1．(2019·广东佛山模拟)已知中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆 M 的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点 A 与左、右两焦点 F1，F2构成的三角形中面积的最大值为.(1)求椭圆 M 的标准方程；(2)若 A 与 C 是椭圆 M 上关于 x 轴对称的两点，连接 CF2与椭圆的另一交点为 B，求证：直线AB 与 x 轴交于定点 P，并求PA·F2C的取值范围．解析：(1)由题意知＝，·2c·b＝，a2＝b2＋c2，解得 c＝1，a＝2，b＝.所以椭圆 M 的标准方程是＋＝1.(2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x1，－y1)，直线 AB：y＝kx＋m.将 y＝kx＋m，代入＋＝1 得，(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.则 x1＋x2＝－，x1x2＝.因为 B，C，F2共线，所以 kBF2＝kCF2，即＝，整理得 2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，所以 2k－(m－k)－2m＝0，解得 m＝－4k.所以直线 AB：y＝k(x－4)，与 x 轴交于定点P(4,0)．因为 y＝3－x，所以PA·F2C＝(x1－4，y1)·(x1－1，－y1)＝x－5x1＋4－y＝x－5x1＋1＝2－.因为－2b>0)的左、右焦点分别为点 F1，F2，其离心率为，短轴长为 2.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 F1的直线 l1与椭圆 C 交于 M，N 两点，过点 F2的直线 l2与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且l1∥l2，证明：四边形 MNPQ 不可能是菱形．解析：(1)由已知，得＝，b＝，又 c2＝a2－b2，故解得 a2＝4，b2＝3，所以椭圆 C 的标准方程为＋＝1.(2)证明：由(1)，知 F1(－1，0)，如图，易知直线 MN 不能平行于 x 轴，所以令直线 MN 的方程为 x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，所以 y1＋y2＝，y1y2＝.此时|MN|＝.同理，令直线 PQ 的方程为 x＝my＋1，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，此时 y3＋y4＝，y3y4＝，此时|PQ|＝，故|MN|＝|PQ|.所以四边形 MNPQ 是平行四边形．若平行四边形 MNPQ 是菱形，则 OM⊥ON，即OM·ON＝0，于是有 x1x2＋y1y2＝0.又 x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝m2y1y2－m(y1＋y2)＋1，所以有(m2＋1)y1y2－m(y1＋y2)＋1＝0，整理得到＝0，即 12m2＋5＝0，上述关于 m 的方程显然没有实数解，故四边形 MNPQ 不可能是菱形．3．(2019·安庆二模)已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点(2，)．(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 A、B 为椭圆 C 的左、...
