（全国通用版）高考数学一轮复习 第四单元 导数及其应用 高考达标检测（十四）综合问题是难点，3大题型全冲关 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

高考达标检测（十四） 综合问题是难点，3 大题型全冲关1．(2014·全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝aln x＋x2－bx(a≠1)，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为 0.(1)求 b；(2)若存在 x0≥1，使得 f(x0)<，求 a 的取值范围．解：(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b.由题设知 f′(1)＝0，解得 b＝1.(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f(x)＝aln x＋x2－x，f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)．① 若 a≤，则≤1，故当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在 x0≥1，使得 f(x0)<的充要条件为 f(1)<，即－1<，解得－－11，故当 x∈时，f′(x)<0；当 x∈时，f′(x)>0，f(x)在上单调递减，在上单调递增．所以，存在 x0≥1，使得 f(x0)<的充要条件为 f<.而 f＝aln＋＋>，所以不符合题意．③ 若 a>1，则 f(1)＝－1＝<.综上，a 的取值范围是(－－1，－1)∪(1，＋∞)．2．已知函数 f(x)＝ln x－＋(a∈R)．(1)若 a＝1，求函数 f(x)的极值；(2)若 f(x)在[1，＋∞)内为单调增函数，求实数 a 的取值范围；(3)对于 n∈N*，求证：＋＋＋…＋0)．(1) 若 a＝1，则 f′(x)＝，令 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x＝－2(舍去)，由 f′(x)>0，得 x>1，由 f′(x)<0，得 01 时，即 a<－2 时，g≥0⇒－8≤a≤0，所以－8≤a<－2，综上，实数 a 的取值范围为[－8,1]．(3)证明：当 a＝1 时，由(1)知，f(x)在[1，＋∞)上单调递增，即 x>1 时，f(x)>f(1)＝0，即 ln x>－，令 x＝(n∈N*)，因为>1，所以 ln >－＝，所以