星期一 (三角与数列) 1. 三角知识(命题意图：在三角形中，考查利用三角恒等变换求角，以及考查余弦定理，面积公式的综合应用，考查考生对三角公式的灵活运用．)在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 2cos Acos C(tan Atan C－1)＝1.(1)求 B 的大小；(2)若 a＋c＝，b＝，求△ABC 的面积．解 (1)由 2cos Acos C(tan Atan C－1)＝1，得 2cos Acos C＝1，∴2(sin Asin C－cos Acos C)＝1，∴cos(A＋C)＝－，∴cos B＝，又 0＜B＜π，∴B＝.(2)由余弦定理，得 cos B＝＝，∴＝，又 a＋c＝，b＝，∴－2ac－3＝ac，ac＝，∴S△ABC＝acsin B＝××＝.2．数列知识(命题意图：考查等差中项、等比中项公式的应用、等差数列的定义，错位相减求前 n 项和等，考查考生对数据的处理能力等．)已知数列{an}，{bn}的各项均为正数，且对任意 n∈N*，都有 bn，an，bn＋1 成等差数列．an，bn＋1，an＋1成等比数列，且 b1＝6，b2＝12.(1)求证数列{} 是等差数列，并求 an；(2) 设 Tn＝＋＋…＋，求 Tn.(1)证明 ∵an，bn＋1，an＋1成等比数列，∴b＝an·an＋1.又数列{an}，{bn}各项均为正数，所以 bn＋1＝，从而 n≥2 时，bn＝.又 bn，an，bn＋1成等差数列，所以 2an＝bn＋bn＋1，即当 n≥2 时，2an＝＋，∴2＝＋，∴数列{}为等差数列，又 b1＝6，b2＝12，∴a1＝＝9，a2＝＝＝16，∴数列{}的公差为 d＝－＝4－3＝1，首项为 3 的等差数列，∴＝＋(n－1)·d＝3＋(n－1)·1＝n＋2，∴an＝(n＋2)2.(2)解 由(1)知，当 n≥2 时，bn＝＝＝(n＋1)(n＋2)，又 b1＝6 适合上式，∴bn＝(n＋1)(n＋2)．令 Cn＝，n∈N*，则 Cn＝＝(n＋2) ·2n＋2，∴Tn＝C1＋C2＋…＋Cn＝3·23＋4·24＋…＋(n＋2)·2n＋2，①∴2Tn＝3·24＋4·25＋…＋(n＋1)·2n＋2＋(n＋2)·2n＋3.②由①－②可得：－Tn＝3·23＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋2)·2n＋3＝2·23＋(23＋24＋…＋2n＋2)－(n＋2)·2n＋3＝16＋23(1＋2＋…＋2n－1)－(n＋2)·2n＋3＝16＋8－(n＋2)·2n＋3＝16＋8·(2n－1)－(n＋2)·2n＋3＝16＋2n＋3－8－(n＋2)·2n＋3＝8－(n＋1)·2n＋3，∴Tn＝(n＋1)·2n＋3－8.
