5. 中点的妙用5.1. 中点的妙用--构建平行关系【例 1】如图，三棱柱中，分别是的中点， 证明：平面.【解析】连接交于点，则为的中点，又为的中点，连接，则.因为所以平面.【评注】借助于三角形或梯形的中位线构建平行关系是中点的重要功能，求解问题时注意灵活应用.【变式】添加中点三角形或梯形的中位线.如图，四棱锥中，，分别为的中点。求证：平面.【解析】取的中点为，连接因为为的中点，所以，又 ，所以，因此四边形是平行四边形，所以，又 DH平面 PAD，CE平面 PAD，平面；5.2 中点的妙用--构建垂直关系【 例 2 】 四 棱 锥的 底 面 是 矩 形 ，,为等边三角形，侧面,求侧棱与底面所成的角．【解析】取中点，连，因为为等边三角形，故， 又 面， 且 面，， 故， 所 以为 直 线与 底 面所成的角．FE中，，故．中，，，故．在中， ，故，所以侧棱与底面所成的角为．【评注】借助于等腰三角形的“三线合一”的特性构建垂直关系也是中点的重要功能.【变式】添加中点构建垂直关系.如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等，，，分别为棱，，的中点．C1B1A1ABCDEF（I）证明：平面；（II）证明：平面平面.【解析】（I）证明：如图，在三棱柱中，，且，连接，在中，因为，分别为，的中点，所以，且，又因为为的中点，可得，且，即四边形为平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．（II）由于底面是正三角形，为的中点，故．又由于侧棱底面，平面，所以，又， 因 此平 面， 而平 面， 所 以 平 面平 面．GFEDCBAA1B1C1
