谈谈函数与方程的思想方法丁勇 函数与方程的思想是指在解决某些数学问题时，构造适当的函数与方程，把问题转化为研究辅助函数与辅助方程性质的思想。 下面就结合 2005 年的高考试题，说明如何运用函数与方程的思想方法去分析和解决问题。 例 1. 设不等式对满足的一切实数 m 恒成立，求实数 x 的取值范围。 解析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于 x 的不等式进行分类讨论。然而，若变换一个角度以 m 为主元，记，则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在区间[－2，2]内恒负时参数 x 应该满足的条件。 要使，只要使 即 从而解得。 评注：本例采用变更主元法，化繁为简，再巧用函数图象的特征（一条线段），解法易懂易做。如何从一个含有多个变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。 例 2. 设，且，，求 a＋b 的值。 解析：由已知两式结构的相似性，联想到相应函数 令，则是奇函数，且是增函数。这样，已知是 ， ， 得， 则有 从而，所以。 评注：本例由已知式构造函数，再巧用奇偶性和单调性，解法奇妙。选取变元，构造函数关系来解决数学问题，这是运用函数思想解题的较高层次，只有平时多加训练并注意积累，才能做到运用自如。 例 3. 设，其中，如果当时，f(x)有意义，求 a 的取值范围。 解析：二次函数及图象、二次不等式、二次方程三者是紧密联系的，许多问题都可以利用它们来解决，只要进行合理的转化就可以了。 可知， 即当时恒成立。 而都是减函数， 则在上是增函数。 故当 x＝1 时，g(x)取得最大值是， 从而得 a 的取值范围是。 评注：本例采用分离参数法，再构造函数，使不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题，方向明确，解法简捷。在数学各分支中若遇到有关不等式、方程及最值之类的问题，利用函数观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种适当的解题途径。这充分体现了方程思想和函数思想的实用性和重要性。 例 4. 如果函数的最大值是 4，最小值是－1，求实数 a、b 的值。 解析：由 y 的最大值是 4，知存在实数 x 使＝4，即方程有实根，故有 又由 y 的最大值是 4，知对任意实数 x 恒有， 即恒成立， 故 从而有 同样由 y 的最小值是－1，可得 由，可解得。 评注：本例解法中，对题设中给出的最值，一方面认为是方程的实数解，另一方面又认为是不等式...
