1. 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x． (Ⅰ)求函数g(x)的解析式； (Ⅱ)解不等式 g(x)≥f(x)－|x－1|； (Ⅲ)若 h(x)＝g(x)－ f(x)＋1 在[－1，1]上是增函数，求实数 的取值范围． 解：（I）设函数( )yf x的图象上任一点00(,)Q x y关于原点的对称点为( , )P x y , 则 000202xxyy 即 00xxyy . 点00(,)Q x y在函数( )yf x的图象上. 22 ,yxx 即22 ,yxx 故 g(x)＝22xx. (II)由 ( )( ) |1|g xf xx可得：0122 xx 当 x 1 时，0122 xx 此时不等式无解。 当1x 时， 0122 xx 112x 因此，原不等式的解集为[-1, 12 ]. (III) 2( )(1)2(1)1.h xxx 依题意得 0)1(2)1(2)(' xxh在区间]1,1[恒成立 将1,1xx分别代入上述不等式得： 0)1(2)1(20)1(2)1(2 解得0 2. 已知数列}{na的前 n 项和为 Sn，且对任意正整数n 都有 2Sn＝(n＋2)an－1． （Ⅰ）求数列}{na的通项公式； （Ⅱ）设13242111nnnTa aaaaa，求limnnT． （Ⅰ）解法一：在 2Sn＝（n＋2）an－1 中，令 n＝1，得 2 a1＝3 a1－1，求得 a1＝1，令n＝2，得 2（a1＋a2）＝4a2－1，求得 a2＝32 ；令 n＝3，得 2（a1＋a2＋a3）＝5 a3－1，求得 a3＝2；令 n＝4，得 2（a1＋a2＋a3＋a4）＝6 a4－1，求得 a4＝52 ．由此猜想：an＝12n ． 下面用数学归纳法证明． （1）当n＝1 时，a1＝1 12＝1，命题成立． （2）假设当n＝k 时，命题成立，即ak＝12k ，且2Sk＝（k＋2）ak－1， 则由2Sk＋1＝（k＋3）ak＋1－1 及Sk＋1＝ Sk＋ak＋1， 得（k＋3）ak＋1－1＝2Sk＋2ak＋1，即（k＋3）ak＋1－1＝[（k＋2）ak－1]＋2ak＋1． 则ak＋1＝(2)1kkak＝22k ， 这说明当n＝k＋1 时命题也成立． 根据（1）、（2）可知，对一切n∈N*命题均成立． 解法二：在2Sn＝（n＋2）an－1 中，令n＝1，求得a1＝1． 2Sn＝（n＋2）an－1，∴ 2Sn－1＝（n＋1）an－1－1． 当n≥2 时，两式相减得：2（Sn－Sn－1）＝（n＋2）an－（n＋1）an－1， 即 2 an＝（n＋2）an－（n＋1）an－1，整理得，11nnanan． ∴ na ＝1nnaa·12nnaa·…·32aa ·21aa...
