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数理经济学_茹少峰_第4章课后题及答案VIP免费

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第四章 习题答案 1.求下列函数的极值。 (1)byaxyx yxy3322 (2)xxy212 (3)161 3  xy (4)1lnxxxy 解:(1)根据二元函数极值的必要条件,可得 032ayxfx,032byxfy 解得,)2,2(),(abbayx为可能的极值点。 根据充分条件,函数),(yxf的二阶导师组成的Hessian 矩阵为 2112)(xH 03 H, 因 此)2,2(abba为),(yxf的严 格 极小 值点 , 极值为22353baba。 (2)根据一元函数极值的必要条件,可得 0)21(22'xy 因此该函数在其定义域内为单调递增函数,极值不存在。 (3)根据一元函数极值的必要条件,可得 03632'xxy 求得极值点为1x。 由充分条件知66''xy。 当1x时0'' y,所以该函数极值不存在。 (4)根据一元函数极值的必要条件,可得 0ln12'xxy 求的极值点为ex 。 由充分条件知4''3ln2xxxxy。 当ex 时,013''ey,因此该函数存在极大值为 e1。 2. 讨论函数122yxx yyxf,的极值。 解:根据二元函数极值的必要条件,可得 03,032332xxyxfyyyxfyx )21,21(),(),21,21(),(),21,21(),(),21,21(),(),0,0(),(yxyxyxyxyx 为可能的极值点。 根据充分条件,函数),(yxf的二阶导师组成的Hessian 矩阵为 y xyxyxx yxH61331336)(2222 )0,0(),(yx时,01H,因此函数在该点无极值; )21,21(),(yx时,0223212123H,海赛矩阵为正定矩阵,因此函数在该点有严格极小值为81; )21,21(),(yx时,0223212123H,海赛矩阵为正定矩阵,因此函数在该点有严格极小值为81; )21,21(),(yx时,0223212123H,0)1(,0)1(221AA,则海赛矩阵为负定矩阵,因此函数在该点有严格极大值为81; )21,21(),(yx时,0223212123H,0)1(,0)1(221AA,则海赛矩阵为负定矩阵,因此函数在该点有严格极大值为81 3. 试说明对于任意的0,,生产函数 LAKxf)(是凹函数。 证明:LKAfK1,11LKAfKL LKAfKK2)1(,2)1(LKAfLL 所以函数的Hessian 矩阵为 211112)1()1(),(LKALKALKALKALKH 因为10,10...

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