数理经济学_茹少峰_第4章课后题及答案VIP免费

第四章 习题答案 1.求下列函数的极值。 （1）byaxyx yxy3322 （2）xxy212 （3）161 3  xy （4）1lnxxxy 解：（1）根据二元函数极值的必要条件，可得 032ayxfx，032byxfy 解得，)2,2(),(abbayx为可能的极值点。 根据充分条件，函数),(yxf的二阶导师组成的Hessian 矩阵为 2112)(xH 03 H， 因 此)2,2(abba为),(yxf的严 格 极小 值点 ， 极值为22353baba。 （2）根据一元函数极值的必要条件，可得 0)21(22'xy 因此该函数在其定义域内为单调递增函数，极值不存在。 （3）根据一元函数极值的必要条件，可得 03632'xxy 求得极值点为1x。 由充分条件知66''xy。 当1x时0'' y，所以该函数极值不存在。 （4）根据一元函数极值的必要条件，可得 0ln12'xxy 求的极值点为ex 。 由充分条件知4''3ln2xxxxy。 当ex 时，013''ey，因此该函数存在极大值为 e1。 2. 讨论函数122yxx yyxf，的极值。 解：根据二元函数极值的必要条件，可得 03,032332xxyxfyyyxfyx )21,21(),(),21,21(),(),21,21(),(),21,21(),(),0,0(),(yxyxyxyxyx 为可能的极值点。 根据充分条件，函数),(yxf的二阶导师组成的Hessian 矩阵为 y xyxyxx yxH61331336)(2222 )0,0(),(yx时，01H，因此函数在该点无极值； )21,21(),(yx时，0223212123H，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为81； )21,21(),(yx时，0223212123H，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为81； )21,21(),(yx时，0223212123H，0)1(,0)1(221AA，则海赛矩阵为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为81； )21,21(),(yx时，0223212123H，0)1(,0)1(221AA，则海赛矩阵为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为81 3. 试说明对于任意的0，，生产函数 LAKxf)(是凹函数。 证明：LKAfK1,11LKAfKL LKAfKK2)1(,2)1(LKAfLL 所以函数的Hessian 矩阵为 211112)1()1(),(LKALKALKALKALKH 因为10,10...