第十章双线性函数与辛空间VIP专享VIP免费

第十章 双线性函数与辛空间 §1 线性函数 定义 1 设V 是数域 P 上的一个线性空间，f 是V 到 P 的一个映射，如果 f 满足 1）)()()(fff; 2）)()(kfkf, 式中 ,是V 中任意元素， k 是 P 中任意数，则称 f 为V 上的一个线性函数. 从定义可推出线性函数的以下简单性质： 1. 设 f 是V 上的线性函数，则)()(,0)0(fff. 2. 如果  是s,,,21的线性组合： sskkk2211 那么 )()()()(2211ss fkfkfkf 例 1 设naaa,,,21是 P 中任意数，),,,(21nxxxX是nP 中的向量.函数 nnnxaxaxaxxxfXf221121),,,()( (1) 就是 P 上的一个线性函数.当021naaa时，得0)(Xf,称为零函数，仍用 0 表示零函数. 实际上，nP 上的任意一个线性函数都可以表成这种形式. 令 nii,,2,1,)0,,0,1,0,,0(. 第i 个 nP 中任一向量),,,(21nxxxX可表成 nnxxxX2211. 设 f 是nP 上一个线性函数，则 niiiniiifxxfXf11)()()( 令 ,21,)(nifaii，，， 则 nn xaxaxaXf2211)( 就是上述形式. 例2 A 是数域P 上一个 n 级矩阵，设 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211, 则A 的迹 nnaaaATr2211)( 是P 上全体 n 级矩阵构成的线性空间nnP 上的一个线性函数. 例3 设txPV],[是P 中一个取定的数.定义][xP上的函数tL 为 ][)(,)())((xPxptpxPLt, 即))((xpLt为)( xp在 t 点的值，))((xpLt是][xP上的线性函数. 如果V 是数域P 上一个 n 维线性空间.取定V 的一组基n,,,21.对V 上任意线性函数f 及V 中任意向量 ： nnxxx2211 都有 niiiniiifxxff11)()()(. (2) 因此，)(f由)(,),(),(21nfff的值唯一确定.反之，任给 P 中 n 个数naaa,,,21，用下式定义V 上一个函数f ： niiiniiixaxf11)(. 这是一个线性函数，并且 niafii,,2,1,)( 因此有 定 理 1 设 V 是P 上一个 n 维线性空间，n,,,21是V 的一组基，naaa,,,21是P 中任意 n 个数，存在唯一的V 上线性函数 f 使 niafii,,2,1,)(. §2 对偶空间 设 V 是数域 P 上一个 n 维线性...