1 / 11 十、微分的应用（ I）— 函数的极值1．单变量函数的极值[极值（极大值或极小值）] 若函数 f (x)在点 x0 的双侧邻域中有定义，并且对于某邻域0<|x-x0|<δ 内的一切点 x，下面不等式成立：f(x)< f(x0) (或 f(x)> f(x0)) 则称函数 f (x)在点 x0 处有极大值（或极小值）. [极值存在的必要条件 ]假定函数 f (x)在区间 (a,b)内存在有限导数 .若在点 x0(∈(a,b))处函数有极值，则必有)(0xf=0 (1) 所以可微函数的极值只能在使(1)式成立的点达到，这种点称为稳定点. [极值存在的充分条件 ] 第一法则若函数 f(x)满足条件：（i）在点 x0 的某邻域 |x-x0|<δ 内有定义并且连续，且在点 x0 处，)(0xf=0 或不存在，（ii ）在范围 0<|x-x0|<δ 内有有限的导数)(xf，（iii ）)(xf在点 x0 的左右两侧有固定的符号，则函数f (x)在点 x0 有无极值见下表：x x < x0 x 0 x> x0 f (x) )(xf+ —+ —0 —+ + —极大值极小值上升下降第二法则若函数 f(x)有二阶导数)(xf,并且在点 x0 处下列条件成立：)(0xf=0 及)(0xf≠0 则函数 f(x)在此点有极值，当)(0xf<0 时，有极大值；当)(0xf>0 时，有极小值 . 第三法则设函数 f(x)在某邻域 |x-x0|<δ 内有导数),( xf,)()(xfn，且)(0)(xfk=0 （k=1,1,n）)(0)(xfn≠0 若 n 为偶数，则函数f (x)在点 x0处有极值（当)(0)(xfn<0 时有极大值，当)(0)(xfn>0 时有极小值） ;若 n 为奇数，则在点 x0处无极值 . 以上介绍的单变量函数的极值求法中，求稳定点时最后都归结为求方程)(0xf=0 的实根 .有时上述方程的实根不易求得，就要求近似根.关于实根的近似计算法可参考第三章，§4. 2．多变量函数的极值[极值 (极大值或极小值 )] 设函数y= f (x1,x2,nx,)= f(x) 2 / 11 定义于区域 D 中，且 x0=(00201,,,nxxx)是这区域内的一点 . 若点 x0有一个邻域0<|0iixx|<δ ,i=1,2,n,使对于其中一切点，下面不等式成立：f (x)< f (x0) ( 或 f(x)> f(x0)) 则称函数 f (x)在点 x0 处有极大值（或极小值） . [极值存在的必要条件 ] 假定函数 f(x)在区域 D 内存在有限偏导数 .若在点 x0(∈D)处函数有极值，则必有0)(0)(0)(00021xxxnxxxfff（2）所以极值只能在使（ 2）式成立的点达到，这种点称为稳定点. [极值存在的充分条件 (二元函数的情形 )] 设点 x0=（0201 , xx）为函数 y= f (x1,x2)的稳定点，...
