1 / 6 第 6 讲绝对值不等式一【学习目标】1. 理解绝对值的意义；2. 掌握绝对值不等式的解法；3. 掌握绝对值的三角不等式. 二【知识梳理】1. 绝对值的意义（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.aaaaa a（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：ba表示在数轴上，数a 和数 b 之间的距离．2. 绝对值不等式的解法（1）不等式)0(aax的解集是axax；（2）不等式)0(aax的解集是axaxx或,；（3）不等式)0(ccbax的解集为)0(|ccbaxcx；（4）不等式)0(ccbax的解集为)0(,|ccbaxcbaxx或. 3. 重要 不等式（1） |||||| || ||||ababab ；（2） |||||| || ||||ababab . 4. 区间概念设 ab图示集合区间注： 不等式的解一般用集合或区间表示. A(a) B(b) |a-b| O =a(a>0) A(a) |a| =- a(a<0) |a| A(a) 2 / 6 三【典例精析】例 1.解下列不等式：⑴.4|3| x⑵.3|1|1x例 2 解不等式：125xx解法 1. （1）当2x时，原不等式化为：(1)(2)5xx，解得3x，此时不等式的解集为, 3 ；（2）当21x时，原不等式化为：(1)(2)5xx，即 35 ，矛盾，此时不等式的解集为；（3）当1x时，原不等式化为：(1)(2)5,xx解得2x，此时不等式的解集为2,. 综上知，原不等式的解集为, 32,解法 2. 设数轴上与2,1对应的点分别为,A B ，则,A B 两点的距离为3，故在区间2,1 上的数都不是原不等式的解. 将点 A 左移个单位得点1A ，这时有115A AA B，同理：将 B 点左移个单位得点1B ，这时也有115B AB B.从数轴上可看出原不等式的解集为, 32,. 解法 3. 构造函数125yxx，即26, x-2-2, -2x12x-4 , x1xy由图象知 ：原不等式的解集为, 32,.x -12 -2 -3 A B A1B1y x O -3 2 -2 3 / 6 点拨： xaxbcxaxbc和型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义②零点分区间③构造函数法例 3.求证： 定理 1：如果 a, b 是实数，则 || ||||,abab当且仅当0ab时，等号成立。证明： 当0ab时，||abab2||()abab222aabb22||2 ||||aabb2(||||)||||abab当0ab时， abab ，2||()abab22222||2 ||||aabbaabb222||2 ||||(||||)||||,aabbabab所以 || ||||,abab当且仅当0ab时，等号成立。点拨： |a|，|b|，|a-b|，|a+b| 之间的关系是：|a|-|b|≤|a+b|, |a|+|b|≥|a-b|, |a|-|b|≤...
