二重积分的计算小结VIP免费

二重积分的计算小结 一、知识要点回顾 1．二重积分的定义； 2.二重积分的几何意义及其物理模型。 二重积分)(dyxf),(的几何意义就是以 为底，以)(s 为顶的曲顶柱体的体积，其物理模型就是一个曲顶柱体。 3.二重积分在直角坐标系下的计算 （1）若积分区域 D 是由两条直线 x=a,x=b,以及两条曲线 y=  1(x),y=  2(x) ( 1(x)   2(x),ax b)所围成，则 dxdyy)f(xD)(, =badxdyy)f(xxx)(1, （2）若区域 D 是由两条直线 y=c,y=d 以及两条曲线 x= 1(y),x= 2(y)( 1(y)   2(y), cy d)所围成，则 Dy)dxdyf(x,dxy)f(xdydcyy, 4.极坐标下二重积分的计算法 x=cosr,y=sinr 如果区域 D 是由从极点出发的两条射线 ， （   ）和两条曲线)(2),(1rrrr （)(1 r)(2 r）所围成，则 drrd)rf(ry)dxdyf(xDDsin,cos, rdr)rf(rdrr)(2)(1sin,cos 5．曲线坐标下二重积分的计算法 设函数),(),,(vuyyvuxx在直角坐标平面vOu  上的封闭区域D 上连续，有一阶连续偏导数，而且雅克比行列式 )()()()()()()()(),(),(vyuyvxuxvuyxJ 则 Dy)dxdyf(x,DdudvJvuyvuf(x)),(),,( 二．二重积分的计算举例 1.． 计算二重积分dxdyyyD sin，其中D 为由直线xy 与曲线2yx 所围成的区域． 解：画出积分域如图所示 解方程组 2,xyxy 解得图中的两个交点为)1,1(),0,0(，D 可表示为D=},10|),{(2yxyyxy， 于是 .1sin1sinsin sin)(sinsin1010102102ydyyydydyyyyydxyydydxdyyyyyD 2.计算二重积分dxdyD22yxyx22)sin(的值，其中积分区域为}41|){(22yxyx,D。 图4 解：由对称性可以只考虑第一象限的积分域 采用极坐标。则积分区域变为 0,21|){( ,D} 于是 4)2(4)sin(4)sin()sin(2022122ddddddxdyDD22yxyx 3，计算二重积分 dxdyDxyxye的值的大小，其中 D 是由x 轴， y 轴以及 x+y=2 所围成的封闭区域。 解： 如图 1，由题意，可设 xyv xyu, 则可得 2uvx，2uvy 图 1 ;22;0;0vyxvuyvu...