第 3 讲 平面向量的数量积 【2013年高考会这样考】 1．考查平面向量数量积的运算． 2．考查利用数量积求平面向量的夹角、模． 3．考查利用数量积判断两向量的垂直关系． 【复习指导】 本讲复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系． 基础梳理 1．两个向量的夹角 已知两个非零向量a和b(如图)，作 OA→ ＝a， OB→ ＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b ；当θ＝180°时，a与b ；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作 . 同向 反向 a ⊥b 2．两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即 ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. 3．向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的数量积． |a ||b |cos θ a · b ＝ |a ||b |cos θ 4．向量数量积的性质 设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 (1)e·a＝a·e＝ ； (2)a⊥b⇔ ； (3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝ ，特别的，a·a＝|a|2或者|a|＝ a·a； (4)cos θ＝ a·b|a||b|； (5)|a·b|≤|a||b|. |a |cos θ a·b ＝ 0 － |a||b| 5．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a； (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 6．平面向量数量积的坐标运算 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则 (1)a·b＝ ； (2)|a|＝ x21＋y21； (3)cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2x21＋y21 x22＋y22； (4)a⊥b⇔ a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0. 7．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB→ ＝a，则|a|＝x1－x22＋y1－y22(平面内两点间的距离公式)． x 1x 2 ＋ y1y2 一个条件 两个向量垂直的充要条件：a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0. 两个探究 (1)若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？ (2)若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？ 三个防范 (1)若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒ b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量． (2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)c≠a(b·c)，...
