1 最值系列之——将军饮马 一、什么是将军饮马? 【问题引入】 “白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河” ,这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题,通常称为“将军饮马” 。 【问题描述】 如图,将军在图中点 A处,现在他要带马去河边喝水,之后返回军营,问:将军怎么走能使得路程最短? AB将军军营河 【问题简化】 如图,在直线上找一点 P 使得 P A +P B 最小? PBA 【问题分析】 这个问题的难点在于 P A +P B 是一段折线段,通过观察图形很难得出结果,关于最小值,我们知道“两点之间,线段最短” 、“点到直线的连线中,垂线段最短” 等,所以此处,需转化问题,将折线段变为直线段. 【问题解决】 作点 A 关于直线的对称点 A ’,连接 P A ’,则 P A ’=P A ,所以 P A +P B =P A ’+P B A 'ABP 2 当A ’、P 、B 三点共线的时候,P A ’+P B =A ’B ,此时为最小值(两点之间线段最短) 折点端点A 'PBA 【思路概述】 作端点(点 A 或点 B )关于折点(上图 P 点)所在直线的对称,化折线段为直线段. 3 二、将军饮马模型系列 【一定两动之点点】 在OA、OB 上分别取点M、N,使得△PMN 周长最小. MNP''P'NMBAPOOPAB 此处M、N 均为折点,分别作点P关于OA(折点M 所在直线)、OB(折点N 所在直线)的对称点,化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’,当P’、M、N、P’’共线时,△PMN 周长最小. 【例题】如图,点P是∠AOB 内任意一点,∠AOB=30°,OP=8,点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点,则△PMN 周长的最小值为___________. POBAMN 【分析】△PMN 周长即 PM+PN+MN 的最小值,此处M、N 均为折点,分别作点P关于OB、OA 对称点P’、P’’,化PM+PN+MN 为P’N+MN+P’’M. P'P''NMABOP 当P’、N、M、P’’共线时,得△PMN 周长的最小值,即线段P’P’’长,连接 OP’、OP’’,可得△OP’P’’为等边三角形,所以 P’P’’=OP’=OP=8. POBAMNP''P' 4 【两定两动之点点】 在OA、OB 上分别取点M、N 使得四边形 PMNQ 的周长最小。 Q'P'MNBAPOQQOPABNM 考虑 PQ 是条定线段,故只需考虑 PM+MN+NQ 最小值即可,类似,分别作点P、Q 关于OA、OB 对称,化折线段 PM+MN+NQ 为 P’M+MN+NQ’,当 P’、M、N、Q’共线时,四边形PMNQ 的周长最小。 【一定两动之点线】 在OA...