三大类递推数列通项公式的求法 湖北省竹溪县第一高级中学 徐 鸿 一、一阶线性递推数列求通项问题 一阶线性递推数列主要有如下几种形式: 1. 这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n 项和). 当为常数时,通过累加法可求得等差数列的通项公式.而当为等差数列时,则为二阶等差数列,其通项公式应当为形式,注意与等差数列求和公式一般形式的区别,后者是,其常数项一定为0. 2. 这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n 项积). 当为常数时,用累乘法可求得等比数列的通项公式. 3.; 这 类 数 列 通 常 可 转 化 为, 或 消 去 常 数 转 化 为 二 阶 递 推 式. 例1已知数列中,,求的通项公式. 解析:解法一:转化为型递推数列. ∴又,故数列{}是首项为2,公比为2的等比数列.∴,即. 解法二:转化为型递推数列. =2xn-1+1(n≥ 2) ① ∴=2xn+1 ② ②-①,得(n≥ 2),故{}是首项为x2-x1=2,公比为2的等比数列,即, 再用累加法得. 解法三:用迭代法. 当然,此题也可用归纳猜想法求之,但要用数学归纳法证明. 例2 已知函数的反函数为 求数列的通项公式. 解析:由已知得,则. 令=,则.比较系数,得. 即有. ∴数列{} 是以为首项,为公比的等比数列,∴,故. 评析:此题亦可采用归纳猜想得出通项公式,而后用数学归纳法证明之. ( 4) 若取倒数,得,令,从而转化为(1)型而求之. ( 5); 这类数列可变换成, 令, 则转化为(1)型一阶线性递推公式. 例3 设数列求数列的通项公式. 解析: , 两边同除以, 得. 令, 则有. 于是,得, ∴ 数列是以首项为,公比为的等比数列,故,即,从而. 例4 设求数列的通项公式. 解析:设用代入,可解出. ∴是以公比为-2,首项为的等比数列. ∴, 即. ( 6) 这类数列可取对数得,从而转化为等差数列型递推数列. 二、可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列 例5 设数列求数列的通项公式. 解析:由可得 设 故即用累加法得 或 例6 在数列求数列的通项公式. 解析:可用换元法将其转化为一阶线性递推数列. 令使数列是以 为公比的等比数列(待定). 即∴对照已给递推式, 有即的两个实根. 从而 ∴ ① 或 ② 由式①得;由式②得. 消去. 例7 在数列求. 解析:由 ①,得 ②. 式②+式①,得, 从而有....