三大类递推数列通项公式的求法 湖北省竹溪县第一高级中学 徐 鸿 一、一阶线性递推数列求通项问题 一阶线性递推数列主要有如下几种形式： 1. 这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n 项和). 当为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当为等差数列时，则为二阶等差数列，其通项公式应当为形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是，其常数项一定为０． 2. 这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n 项积). 当为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式． 3.； 这 类 数 列 通 常 可 转 化 为， 或 消 去 常 数 转 化 为 二 阶 递 推 式. 例１已知数列中，,求的通项公式． 解析：解法一：转化为型递推数列． ∴又，故数列｛｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴，即． 解法二：转化为型递推数列． =2xn-1+1(n≥ 2) ① ∴=2xn+1 ② ②－①，得(n≥ 2)，故｛｝是首项为x2-x1=2，公比为２的等比数列，即， 再用累加法得． 解法三：用迭代法． 当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明． 例２ 已知函数的反函数为 求数列的通项公式. 解析：由已知得，则． 令=,则.比较系数，得. 即有． ∴数列｛｝ 是以为首项，为公比的等比数列，∴，故． 评析：此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之． （ 4） 若取倒数,得，令，从而转化为（1）型而求之. （ 5）； 这类数列可变换成， 令， 则转化为(1)型一阶线性递推公式. 例３ 设数列求数列的通项公式． 解析： ， 两边同除以， 得． 令， 则有． 于是，得， ∴ 数列是以首项为，公比为的等比数列，故，即，从而． 例４ 设求数列的通项公式． 解析：设用代入，可解出． ∴是以公比为-2，首项为的等比数列． ∴， 即． （ 6） 这类数列可取对数得，从而转化为等差数列型递推数列. 二、可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列 例５ 设数列求数列的通项公式． 解析：由可得 设 故即用累加法得 或 例６ 在数列求数列的通项公式． 解析：可用换元法将其转化为一阶线性递推数列． 令使数列是以 为公比的等比数列(待定)． 即∴对照已给递推式， 有即的两个实根． 从而 ∴ ① 或 ② 由式①得；由式②得． 消去． 例７ 在数列求． 解析：由 ①，得 ②． 式②+式①，得， 从而有．...
