数学建模案例分析线性代数在数学建模中的应用举例VIP免费

数学模型 数学建模案例分析 1 线性代数在数学建模中的应用举例 1 基 因 间 “距离”的表示 在ABO 血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。如果我们把四种等位基因A1，A2，B，O 区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。 表 1.1 基因的相对频率 爱斯基摩人f1i 班图人f2i 英国人f3i 朝鲜人f4i A1 0.2914 0.1034 0.2090 0.2208 A2 0.0000 0.0866 0.0696 0.0000 B 0.0316 0.1200 0.0612 0.2069 O 0.6770 0.6900 0.6602 0.5723 合计 1.000 1.000 1.000 1.000 问题 一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。 解 有人提出一种利用向量代数的方法。首先，我们用单位向量来表示每一个群体。为此目的，我们取每一种频率的平方根，记k ik ifx.由于对这四种群体的每一种有 141ik if，所以我们得到4121ik ix.这意味着下列四个向量的每个都是单位向量.记 .44434241,34333231,24232221,141312114321xxxxaxxxxaxxxxaxxxxa数学模型 数学建模案例分析 2 在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1 的球面上. 现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把a1 和a2 之间的夹角记为θ，那么由于| a1|=| a2|=1，再由内只公式，得21cosaa  而 .8307.03464.02943.03216.0,8228.01778.00000.05398.021aa 故 9187.0cos21aa 得 2.23°. 按同样的方式，我们可以得到表1.2. 表1.2 基因间的“距离” 爱斯基摩人 班图人 英国人 朝鲜人 爱斯基摩人 0° 23.2° 16.4° 16.8° 班图人 23.2° 0° 9.8° 20.4° 英国人 16.4° 9.8° 0° 19.6° 朝鲜人 16.8° 20.4° 19.6° 0° 由表1.2 可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大 . 2 Euler 的 四 面 体问题 问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler（欧拉）提出的. 解 建立如图 2.1 所示坐标系，设 A，B，C 三点的坐标分别为（a1,b1,c1）,( a2,b2,c2)和（a3,b3,c3），并设四面体O-ABC 的六条棱长分别为.,,,,,rqpnml...