第六节 战斗模型：高阶线性模型 人类会厌倦睡觉，厌倦爱情； 会厌倦唱歌；厌倦跳舞； 但是战争，却永不停歇。 ——荷马〈伊利亚特〉 很早以前荷马的这句话，一直被人类所证实。 战争是一个古老的而又很新的事情，许多人想逃避却又不得不面对。 决定一场战争胜负的因素是很多的，也是很复杂的，不是一个简单的数学模型所能解决的。毛主席说：决定战争胜负的是人，而不是一两件新式武器。哲人说：人心的向背决定战争的胜负。但人心是模糊的，很难说清楚。这里，我们不想讨论战争胜负的原因。只是从数学的角度来探讨决定一场战争胜负的一些因素。 早在第一次世界大战期间，F.W.Lanchester 就指出了几个预测战争结局的数学模型，其中有描述传统的正规战争的，也有考虑稍微复杂的游击战争的，以及双方分别使用正规部队和游击部队的所谓混合战争的，后来人们对这些模型作了改进和进一步的解释，用以分析历史上一些著名的战争，如二次世界大战中的美日硫黄岛之战和 1975 年结束的越南战争。 Lanchester 提出的模型是非常简单的，他只考虑双方兵力的多少和战斗力的强弱，兵力因战斗减员和非战斗减员而减少，又由后备力量的增援而增加；战斗力即杀伤对方的能力，则与射击率（单位时间的射击次数）、射击命中率以及战争的类型（正规战、游击战）等有关，这些模型当然没有考虑交战双方的政治、经济、社会等因素，而仅靠战场上兵力的优劣是很难估计战争胜负的，所以我们认为用这些模型判断整个战争的结局是不可能的，但是对于局部战役来说还有参考价值。更重要的是，建模的思路和方法为我们借助数学模型讨论社会科学领域中的实际问题提供了可以借鉴的示例。 一般战争模型 用)(tx和)(ty表示甲乙交战双方时刻 t 的兵力，不妨视为双方的士兵人数， 假设 1、每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，用),(yxf和),(yxg表示。 2、第一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引起）与本方的兵力成正比。 3、每一方的增援率是给定的函数，用)(tu和)(tv表示。 由此可以写出关于)(tx和)(ty的微分方程为 ( ,)( ),0( ,)( ),0dxfx yxu tdtdyg x yyv tdtaabbìïï= --+>ïïïíïï= --+>ïïïî （1） 下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率 f、g 的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素。 正规战争模型 设想一下中世纪的欧洲战场或者第一次世界大战的战场：作战的双方摆好队型，堂堂正正开战。 我们假设： 甲乙双方都...
