数学物理方法习题解答VIP专享VIP免费

1 数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明 Rez 在 z 平面上处处不可导。证明： 令 Rezuiv 。RezxQ，,0ux v。1ux，0vy，uvxy 。于是 u 与 v 在 z 平面上处处不满足C－R 条件，所以 Rez 在 z 平面上处处不可导。2、试证2fzz 仅在原点有导数。证明： 令 fzuiv 。22222,0fzzxyuxy vQ。2 ,2uuxyxy。vvxy。所以除原点以外，,u v不满足 C－R 条件。而,,uuvvxyxy 在原点连续，且满足 C－R 条件，所以 fz 在原点可微。000000xxyyuvvufiixxyy。或：2*00000limlimlim0zzxyzfzxi yz。22***0*000limlimlim()0zzzzzzzzzz zzzzzzz。【当0,izzre ，*2izez与趋向有关，则上式中**1zzzz】2 3、设333322()z0( )z=00xyi xyf zxy，证明zf在原点满足 C－R 条件，但不可微。证明： 令,,fzu x yiv x y ，则332222220,=00xyxyu x yxyxy，332222220( , )=00xyxyv x yxyxy。3300( ,0)(0,0)(0,0)limlim1xxxu xuxuxx，3300(0,)(0,0)(0,0)limlim1yyxuyuyuyy；3300( ,0)(0,0)(0,0)limlim1xxxv xvxvxx，3300(0,)(0,0)(0,0)limlim1yyxvyvyvyy。(0,0)(0,0) ,(0,0)(0,0)xyyxuvuv( )f z在原点上满足 C－R 条件。但33332200( )(0)()limlim()()zzf zfxyi xyzxyxiy。令 y 沿 ykx 趋于 0，则3333334343222220()1(1)1(1)lim()()(1)(1)(1)zxyi xykikkkki kkkxyxiykikk依赖于 k，( )f z 在原点不可导。4、若复变函数zf在区域 D 上解析并满足下列条件之一， 证明其在区域 D 上3 必为常数。（1）zf在区域 D 上为实函数；（2）* zf在区域 D 上解析；（3） Rezf在区域 D 上是常数。证明：（1）令( )( , )( ,)f zu x yiv x y 。由于zf在区域 D 上为实函数，所以在区域D 上 ( , )0v x y。( )f zQ在区域 D 上解析。由 C－R 条件得0uvxy，0uvyx。在区域 D 上( , )u x y 为常数。从而zf在区域 D 上为常数。（2）令( )( ,)( , )f zu x yiv x y ，则* ( )( ,)( ,)fzu x yiv x y 。( )f zQ在区域 D 上解析。由 C－R 条件得,uvuvxyyx。 （1）又* ( )fz 在区域 D 上解析，由 C－R 条件得,uvuvxyyx 。（2）联立（ 1）和（ 2），得0uuvvxyxy。,u v在区域 D 上均为常数，从而( )f z 在区域 D 上为常数。（3）令,,fzu x yiv x y ，则 Re( ),f zu x y 。由题设知,u x y 在区域 D 上为...