热传导方程的导出及其定解问题的导出VIP免费

热传导方程的导出及其定解问题的导出 1. 热传导方程的导出 考察空间某物体G的热传导问题。以函数 ( , , , )u x y z t 表示物体G在位置( , , )x y z 及时刻 t的温度。 依据传热学中的Fourier实验定律，物体在无穷小时段 dt内沿法线方向 n流过一个无穷小面积 dS的热量 dQ与物体温度沿曲面 dS法线方向的方向导数 un成正比，即 ( , , ) udQk x y zdSdtn  (1-1) 其中 ( , , )k x y z 称为物体在点 ( , , )x y z 处的热传导系数，它应取正值。(1-1)式中负号的出现是由于热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，因此dQ 应和 un异号。 在物体G内任取一闭曲面 ，它所包围的区域记为 ，由(1-1)式，从时刻1t 到2t 流进此闭曲面的全部热量为 21( , , )ttuQk x y zdS dtn  (1-2) 这里 un表示 u沿 上单位外法线方向 n的方向导数。 流入的热量使物体内部的温度发生变化，在实践间隔12( ,)t t中物体温度从1( , , , )u x y z t变化到2( , , ,)u x y z t，它所应该吸收的热量是 21( , , ) ( , , )[ ( , , ,)( , , , )]c x y zx y z u x y z tu x y z tdxdydz 其中c 为比热，  为密度。因此就成立 2121( , , )( , , ) ( , , )[ ( , , ,)( , , , )]ttuk x y zdS dtc x y zx y z u x y z tu x y z tdxdydzn (1-3) 假设函数 u关于变量, ,x y z 具有二阶连续偏导数，关于 t具有一阶连续偏导数，利用格林公式，可以把(1-3)化为 2211ttttuuuukkkdxdydzdtcdt dxdydzxxyyzzt  交换积分次序，就得到 210ttuuuuckkkdxdydzdttxxyyzz   (1-4) 由于12,,t t 都是任意的，我们得到 uuuuckkktxxyyzz (1-5) (1-5)式称为非均匀的各向同性体得热传导方程。如果物体是均匀的，此时 , ,k c  均为常数，记2kac ，即得 2222222uuuuatxyz...