第十章双线性函数VIP专享VIP免费

第十章 双线性函数 一 内容概述 1 线性函数 ⅰ）线性函数 设 V 是数域 P 上线性空间，映射 f ：V P 满足 ①f ( +  )= f ( )+ f (  ) ，V ② f ( )=k f ( ) V，kP 则 f 是 V 上的一个线性函数 ⅱ）线性函数的简单性质： (1) 设 f 是 V 上的线性函数，则 f (0)=0，  ff (2) 如果 是s,,21的线性组合：sskkk2211 ，那么 sskkkf2211)( 定理 设 V 是 P 上一个 n维线性空间，n,,,21是 V 的一组基，而naaa,,,21是 P 中任意n个数，存在唯一的 V 上线性函数f 使 f (i )=ia ni,,2,1 2 线性函数空间 设 V 是数域上 P 线性空间，V 上的全体线性函数的集合记为 L(V, P), 定义 ⅰ）加法 (gf )( )= f ( )+ g ( ) gf ,L(V, P)   V ⅱ）数乘    kfkf，pkpVf,, 则 pV , 也是一个 p上的线性空间。并称 pV , 为V 的对偶空间。 3 对偶基 设n,,,21为V 的一组基，定义 )(jif =ijij01，则nfff,,,21是 PV ,的一组基。称nfff,,,21 为n,,,21的对偶基。 定理 PV ,的维数等于V 的维数，而且nfff,,,21是 PV , 的一组基 定理 设 n,,,21及 1 ,2 , n 是线性空间 V 的两组基，它们的对偶基分别与nfff,,,21及nggg,,,21。如果由n,,,21到1 ,2 , n 的过渡矩阵为 A ，那么由nfff,,,21到nggg,,,21的过渡矩阵为1')(A 4. 双线性函数 设V 是数域 P 上一个线性空间。 ),(f是V 上一个二元函数，即对V 中任意两个向量,都唯一地对应P 中的一个数。记为 ),(f。如果 ),(f有以下性质： ① f 2211,kk=k1 f 1,+k2 f 2,  ②),(),(),(22112211fkfkkkf V2121,,,,, pkk21, 则称 f , 为 V 上的双线性函数。 设 f , 是数域 上 维线性空间V 上的一个双线性函数，n,,,21是V 的一组基，则矩阵 A=nnnnnnfffffffff...