椭圆离心率的解法一、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F为焦点， A 为顶点，准线L 交 OA 于 B，P、Q 在椭圆上，PD⊥L 于 D，QF⊥AD 于 F,设椭圆的离心率为e，则① e=｜ PF｜｜PD｜②e=｜QF｜｜BF｜ ③e=｜AO ｜｜BO｜④e=｜AF｜｜BA｜⑤ e=｜FO｜｜AO ｜评： AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ｜ AO｜=a, ｜OF｜=c,∴有⑤； ｜ AO ｜=a,｜ BO｜= a2 c ∴有③。题目 1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0) 的两焦点为F1 、F2 ，以 F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？思路： A 点在椭圆外，找a、b、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点 B，连接 BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。解： ｜ F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 D B F OA P Q B A F2F1变形 1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0) 的两焦点为F1 、F2 ，点 P 在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？解：连接 PF2 ,则｜ OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜ ,∠F1PF2 =90° 图形如上图， e=3-1 变形 2: 椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0) 的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且 PF1 ⊥ X 轴， PF2 ∥AB,求椭圆离心率？解： ｜ PF1｜= b2 a｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜ OA｜=a PF2 ∥AB ∴｜ PF1｜｜ F2 F1｜= ba 又 b= a2-c2 ∴a2=5c2 e=55点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与 c 的 方程式，推导离心率。二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目 2：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0) ，A 是左顶点， F 是右焦点， B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90 ° ，求e? OP F1F2B A F2F1P O 解：｜ AO｜=a ｜ OF｜=c ｜BF｜=a ｜AB｜ =a2+b2 a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e=-1+5 2e=-1-52(舍去 ) 变形：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0) ，e=-1+5 2, A 是左顶点， F 是右焦点， B 是短轴的一个顶点，求∠ ABF？点评： 此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案： 90°引申：此类e=5-12的椭圆为优美椭圆。性质： 1、∠ ABF=90° 2、假设下端点为B1 ,则 ABFB1 ...
